绝对收敛与条件收敛

级数 $\sum a_n$ 若 $\sum |a_n|$ 收敛，就叫绝对收敛；若原级数收敛但绝对值级数发散，则叫条件收敛。$\sum (-1{)}^{n-1}/n$ 属于后者：由交错级数判别法收敛，绝对值却是发散的调和级数。

绝对收敛为何足够

若 $\sum |a_n|$ 收敛，对任意 $m>n$ 有 $$\left|\sum _{k=n+1}^m{a}_k\right|\le \sum _{k=n+1}^m|a_k|.$$ 右边的尾和可以任意小，故原级数的部分和是柯西数列，于是收敛。逆命题不成立，交错调和级数已经给出反例。

排列项的影响

绝对收敛允许重新排列各项而不改变和：先固定足够多的原始项，使余下绝对值总和很小；任何排列只要最终包含这些项，剩余误差便受同一尾和控制。条件收敛则不同，正项和负项分别可以无界增长，交替挑取足够多的正项和负项可以将新部分和推向预定目标；此即级数重排要解释的现象。有限项的换序总安全，无穷项的换序才需要检查。

参考资料

• MIT 18.100B Real Analysis，绝对收敛讲义。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：交错级数、级数重排、无穷级数。