随机变量

随机变量是把随机试验结果映成数值的函数，记作 $X:\Omega \to ℝ$。掷两次硬币时，样本结果是“正反”“反反”等；令 $X$ 表示正面次数，则 $X(\text{正反})=1$、$X(\text{反反})=0$。随机的是试验结果；$X$ 对每个结果的赋值规则是固定的。

从结果到分布

两枚公平硬币有四个等可能结果，故 $P(X=0)=1/4$、$P(X=1)=1/2$、$P(X=2)=1/4$。如果只关心正面次数，不必反复追踪结果顺序；这就是以分布压缩随机试验。其期望为 $0(1/4)+1(1/2)+2(1/4)=1$，表达长期平均次数，不表示单次可能出现“恰好 1”一定发生。

在一般概率空间，随机变量还要求事件 $\{X\le x\}$ 对每个实数 $x$ 都是可赋概率的事件（可测性）。有限样本空间上通常自动满足；在连续模型中，这一要求使累积分布函数 $P(X\le x)$ 有明确定义。

离散与连续

正面次数只取 0、1、2，是离散随机变量。理想化的测量误差可取某区间内任意实数，用密度描述；单点概率通常为 0，必须问一个区间的概率。离散或连续描述的是分布形态，不是数值是否“看起来小数”。

参考资料

• MIT 18.05，Random Variables 讲义。
• MIT 6.041，概率论讲义。
• 继续阅读：累积分布函数、概率密度函数、期望。