概率密度函数

连续型随机变量的概率密度函数 $f(x)$ 不是点 $x$ 发生的概率。它满足 $f(x)\ge 0$、${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$，而区间概率由面积给出： $$P(a<X<b)={\int }_a^{b}f(x)dx.$$ 对有密度的分布，$P(X=a)=0$，所以端点取不取不影响区间概率。

均匀分布的核算

若 $X$ 在 $[0,2]$ 上均匀，密度在区间内为 $1/2$、外部为 0。于是 $P(0.5<X<1.5)={\int }_{0.5}^{1.5}(1/2)dx=1/2$。虽然每个点的概率都为 0，整段仍可有正概率，因为积分累积的是连续区域的面积。

密度数值可以大于 1：在 $[0,0.1]$ 上均匀分布的密度为 10，但区间下面积仍是 1。把“密度=10”读成“概率=10”是将单位弄错了；密度的单位是随机变量单位的倒数。

与 CDF 的关系

若 $F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt$，则 $F$ 是累积分布函数；在可导点，$F^{\prime }(x)=f(x)$。不是每个随机变量都有密度，例如骰子点数只有离散概率；混合分布也可能同时含点质量与密度部分。先判明模型类型，再决定是否用积分。

参考资料

• OpenStax，Introductory Statistics 2e，Continuous Random Variables。
• MIT 6.041，概率论讲义。
• 继续阅读：累积分布函数、正态分布、随机变量。