环面

环面（torus）是一种没有边界的二维曲面，常见的形状是甜甜圈的表面。表面本身与它包围的三维实体不同，后者称为实心环面。环面的一个基本特点是有两个独立的绕行方向：沿中央孔绕一周，或沿管子的截面绕一周。

越过画面边缘以后，到了哪里

设一个小点在正方形画面内移动：走出右边时，从左边同样高度进入；走出上边时，从下边同样横坐标进入。画面尺寸都为一，点 $(0.95, 0.40)$ 向右走 $0.10$ ，便到达显示为 $(0.05, 0.40)$ 的位置。它并没有跳跃，只是跨过了画面的接缝。

这个规则把左右边的对应点看成同一个点，也把上下边的对应点看成同一个点。特别是四个角，在识别后代表同一个位置。

正方形两对相对边分别使用同向箭头标识，说明按对应方向粘合得到环面 — 相对边上的箭头表示同名点的识别方向。粘边后，纸面上的边不是环面的边界。

沿图中一组相同箭头，把左右两边配起来，可想成先形成一个圆筒；再把另一组边配起来，圆筒两端接合，就形成环面。图上的边负责标记接缝，接合后不再是曲面的边界。在边上的点附近，左右两个半邻域拼成一整块；在角点附近，四个小角也拼成一整块。因此接缝上的点与其他点一样，都有类似平面小圆盘的邻域。

写成符号，就是把平面中 $(x, y)$ 与 $(x + m, y + n)$ 识别，其中 $m, n$ 为整数，记作 $T^{2} = ℝ^{2} / ℤ^{2} .$ 斜线表示按整数平移识别，不是数值除法。横向位置有一个周期，纵向位置有另一个周期；每个位置等价于同时指定两个圆周上的点，所以也写作 $S^{1} \times S^{1}$ ，其中 $S^{1}$ 表示圆周。

怎样在三维空间中画出它

在三维空间中，取一个半径为 $r$ 的圆，让它的圆心离旋转轴 $R$ ，其中 $R > r > 0$ 。让这个圆绕轴转一圈，得到圆环面。

用 $v$ 表示截面圆上的角度。该点高出水平面的高度是 $r \sin v$ ，到旋转轴的水平距离是 $R + r \cos v$ 。再用 $u$ 表示绕旋转轴的角度，便得到 $\begin{matrix} x & = (R + r \cos v) \cos u, \\ y & = (R + r \cos v) \sin u, \\ z & = r \sin v . \end{matrix}$ 两个角度都按 $2 π$ 为周期，正好对应上一节的两个周期方向。

大半径为三小半径为一的圆环面三维网格，两组网格分别展示两个周期方向 — 圆环面是抽象环面的一种嵌入。外侧纬圈更长、内侧纬圈更短，这一长度差属于具体几何结构。

图中采用 $R = 3, r = 1$ 。沿管子绕行的一组网格对应固定 $u$ 、改变 $v$ ；围绕中央孔的一组对应固定 $v$ 、改变 $u$ 。当 $v = 0$ 时，点在外侧，到旋转轴的距离为四；当 $v = π$ 时，点在内侧，距离为二。因此图中内侧的纬圈较短、外侧较长。

条件 $R > r$ 保证截面圆不碰到旋转轴。给定曲面上的空间点，可以由其方位角找回 $u$ ，再由水平半径与高度找回 $v$ ，只差整周的重复。若 $R = r$ ，表面在轴上收缩到奇点；若 $R < r$ ，旋转图形会自交。这两种情况不再是这里的光滑无自交圆环面。

为什么矩形环面与圆环面的距离不同

回到画面中的两点 $P = (0.95, 0.40)$ 、 $Q = (0.05, 0.40)$ 。直接在正方形里连线，长度是 $0.90$ ；跨越接缝，长度只有 $0.10$ 。若我们把局部平面距离保留下来，这个粘边模型称为平坦环面。

计算最短距离时，可先把终点的所有周期副本铺在平面上，再找离起点最近的一个。对于边长 $L_{x}, L_{y} > 0$ 的矩形，公式为 $d (P, Q) = min_{m, n \in ℤ} \sqrt{(x_{Q} - x_{P} + m L_{x})^{2} + (y_{Q} - y_{P} + n L_{y})^{2}} .$ 开头的例子取 $m = 1, n = 0$ ，横向差由 $- 0.90$ 变成 $0.10$ 。

平坦环面与图中的空间圆环面具有相同的拓扑形状，但长度结构不同。平坦环面上固定纵坐标后横向走一圈，周长处处相同；空间圆环面的纬圈周长却是 $2 π (R + r \cos v)$ 。把正方形想象成弯曲后粘起，只是在说明点怎样识别，并不表示能把真实纸面不拉伸地变成这个圆环面。

圆环面的面积怎样计算

取很小的角度增量 $d u, d v$ 。固定截面角 $v$ ，沿纬圈走 $d u$ ，弧长约为 $(R + r \cos v) d u$ ；固定 $u$ ，沿截面圆走 $d v$ ，弧长约为 $r d v$ 。两个方向互相垂直，所以一小块面积为 $d A = r (R + r \cos v) d u d v .$ 这一局部比例也可由参数方程的两个导向量直接验证：它们点积为零，长度分别为 $R + r \cos v$ 与 $r$ 。

先对截面角积分： $\int_{0}^{2 π} r (R + r \cos v) d v = 2 π R r,$ 因为一整周的余弦积分为零。再让 $u$ 走一整周，得到 $A = 4 π^{2} R r .$ 当 $R = 3, r = 1$ 时，面积为 $12 π^{2}$ 。内侧缩短的部分与外侧增长的部分，在积分中恰好抵消。

若要求实体的体积，要把截面圆内部也填满。用 $s$ 表示截面内部到截面圆心的距离， $0 \leq s \leq r$ 。体积元为 $s (R + s \cos v) d s d v d u$ ，所以 $V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{r} s (R + s \cos v) d s d v d u = 2 π^{2} R r^{2} .$ 同一例子的体积为 $6 π^{2}$ 。面积的单位是长度平方，体积是长度立方；把两个半径都放大两倍，前者变为四倍，后者变为八倍。

在表面上走一圈，能否缩成一点

在粘边画面中，从原点向右走一单位，回到同一个环面点；向上走一单位，也回到原点。两条闭合路线都不能在环面表面上连续缩成一点。

可以把画面在平面上不断复制，来追踪这件事。跨过接缝后，不把路线折回原画面，而是继续画到相邻副本中。环面上的闭合路线，在这个展开的平面里会从 $(0, 0)$ 走到某个整数点 $(m, n)$ 。整数 $m, n$ 分别记录两个方向绕了多少圈；反向绕行记为负数。

变形路线时固定起终点，平面展开后的终点必须仍为整数点。它不能连续地从一个整数点移到另一个整数点，所以 $(m, n)$ 不变。常值路线的终点为 $(0, 0)$ ，因此 $(1, 0)$ 或 $(0, 1)$ 对应的路线无法缩成它。反过来，如果展开后终点也是原点，平面中的闭合路线可用直线收缩，投影回环面便给出所需收缩。

更一般地，两个展开路线若有相同终点，可以在平面中连续变形为彼此，再投影回环面；终点不同则不能。因此闭合路线的这些变形类别由整数对分类。先走一条再走一条，整数对相加，用群的记号写成 $π_{1} (T^{2}) ≅ ℤ \times ℤ .$ 这里的基本群记录带固定基点的路线类别；路径提升随变形连续的正式论证见 Hatcher 第一章。

路线的点集与走法也不同。直线方向 $(1, 1)$ 在平坦环面上走完一次闭合路线，方向总位移 $(2, 2)$ 可以沿同一轨迹走两遍；两者留下同样的痕迹，绕行数却不同。若填入实心环面，截面圆周又可以在内部圆盘里收缩，只有绕中央孔的方向保留下来。允许路线经过哪些点，会改变答案。

沿两条环路转动观察

先分别隐藏一条环路，沿另一条走完一周，再转动模型查看它背面的部分。改变 $R$ 与 $r$ 时，圆环面的长度、面积会变，但只要始终满足 $R > r > 0$ ，这种连续改变不会填上中间的洞。滑条只提供满足这个条件的参数；它展示几何尺寸的变化，并不是环路不能收缩的证明。

转动环面，追踪两条环路

转动模型，改变大半径与小半径，比较经线、纬线和曲面的面积。

静态配图与完整推导见本节正文；交互演示需浏览器启用 JavaScript。

从粘边图数出一个整体量

在正方形图里，四个角接合后只算一个顶点，两对边接合后只算两条边，内部只算一个面。顶点数减边数再加面数，得到 $χ = 1 - 2 + 1 = 0.$ 这个量称为欧拉示性数。细分不会改变它：在一条边中间加一个顶点，顶点和边各增加一；把一个面分成两面，则边和面各增加一。两种情况下差额都抵消。

球面的欧拉示性数为二，环面为零，因而两者不可能同胚。这里计数的是接合后的结构，不能把未粘好的正方形四个顶点、四条边直接代入。对于连通、紧致、可定向且无边界的曲面，更一般的关系是 $χ = 2 - 2 g$ ，其中 $g$ 为亏格；环面对应 $g = 1$ 。

圆环面的局部弯曲还能提供另一个看法。它的高斯曲率为 $K (u, v) = \frac{\cos v}{r (R + r \cos v)} .$ 因此外侧为正，内侧为负，管的顶部和底部为零。这个公式由曲面的第一、第二基本形式求得，详细推导见 Durham 曲面讲义习题解答。将它乘以上面已算出的面积元，得到 $K d A = \cos v d u d v$ ，整张曲面的曲率积分为零，符合高斯—博内关系 $\int K d A = 2 π χ$ 。长度和曲率取决于所选几何模型，欧拉示性数则保留了曲面的整体拓扑信息。

历史

旋转曲面提供了环面的直观模型，周期运动提供了两个独立角度的模型。十九世纪发展的拓扑学把这些模型中的整体性质与具体长度分开研究。庞加莱在 1895 年《Analysis situs》中引入基本群并发展同调观点，为用路径和整体不变量研究环面等曲面提供了系统工具。MacTutor：拓扑学史

参考资料与知识联系

Allen Hatcher，Algebraic Topology，Cambridge University Press，2002，第一章及第二章的曲面胞腔例子。讨论基本群与胞腔结构。
J. J. O'Connor、E. F. Robertson，A history of Topology，MacTutor，University of St Andrews。讨论现代拓扑学与 1895 年庞加莱工作的背景。
Norbert Peyerimhoff，Riemannian Geometry，习题解答 6，Durham University：圆环面的高斯曲率与总曲率计算。
前置：拓扑空间、连续映射；相关：群、积分、欧氏几何、数学建模。