垂径定理

设 $AB$ 是圆的一条不经过圆心的弦，$O$ 是圆心。过 $O$ 的直线与弦交于 $M$：它垂直于弦，当且仅当平分弦。这是《几何原本》第三卷命题 3 的双向结论。

从垂直到平分

若 $OM\perp AB$，直角三角形 $OMA$ 与 $OMB$ 有相等斜边 $OA=OB=R$，还共用 $OM$。两三角形全等，故 $AM=MB$。

从平分到垂直

若 $AM=MB$，两三角形的三边分别相等：$OA=OB$、$OM$ 共用、$AM=MB$。因此 $\mathrm{\angle }OMA=\mathrm{\angle }OMB$。这两个邻角组成平角，只能各为 $90^{\circ }$，于是 $OM\perp AB$。

图中虚线 $OM$ 是证明所需的辅助线。若半径为 5 且 $OM=3$，则 $AM=\sqrt{5^2-3^2}=4$，整条弦长为 8。

垂线平分弦，半弦、圆心距与半径组成直角三角形。

若弦本身是直径且所说的直线与它重合，两线没有唯一交点 $M$，故命题先排除这种措辞含混的情形。直径的长度结论见弦长与圆心距。

参考资料

• 《几何原本》III.3：过圆心的直线平分弦与垂直弦的互推。
• 继续阅读：圆心的尺规确定、相交弦定理。
• 推导关联：《几何原本》III.14：等弦与圆心距。