弦长与圆心距

同一圆内，等长的弦到圆心距离相等；到圆心距离相等的弦也等长。直径最长；除直径外，弦越靠近圆心越长。这把《几何原本》第三卷命题 14、15 连成一条可计算的关系。

半弦构成直角三角形

半径记为 $R$，弦长记为 $\ell$，圆心到弦的垂直距离记为 $d$。由垂径定理，垂足 $M$ 把弦平分，所以 $AM=\ell /2$。勾股定理给出 $$R^2=d^2+{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2,\ell =2\sqrt{R^2-d^2},0\le d<R.$$ 这里 $d=0$ 给出直径 $\ell =2R$；$d$ 增大，根号内严格减小，弦就缩短。这同时证明了两个方向的等长判定和“直径最长”。

同一半径下，圆心距决定弦长。

例如 $R=5$，圆心距分别为 0、3、4 的弦长依次是 10、8、6。若跨不同半径的圆比较，只看圆心距不够：上式中的 $R$ 也变了。

参考资料

• 《几何原本》III.14：等弦与等圆心距的互推。
• 《几何原本》III.15：直径最长，较近弦较长。
• 继续阅读：圆心的尺规确定、弦、圆心角与弧的对应。