圆外点到圆周的距离

取圆外一点 $P$，设圆心距 $OP=d>R$。圆周上离 $P$ 最近的点是连心线的近端，距离 $d-R$；最远点是远端，距离 $d+R$。沿一侧半圆从近端走到远端，距离严格增加；另一侧是镜像。这是《几何原本》第三卷命题 8 的清晰表述。

同一个余弦式适用于圆内与圆外

令 $O=(0,0)$、$P=(d,0)$、$X_{\theta }=(R\cos \theta ,R\sin \theta )$，则 $$P{X}_{\theta }^2=d^2+R^2-2dR\cos \theta .$$ 对 $0\le \theta \le \pi$，余弦逐渐减小，因此距离逐渐增加。代入两端分别得到 $d-R$ 和 $d+R$。$\theta$ 与 $-\theta$ 的距离相等，所以非极端距离各对应两个对称圆周点。

例如 $d=10,R=3$，近端与远端距 $P$ 分别为 7 和 13。以 $P$ 为圆心画半径为 10 的圆，会与原圆相交于两个对称点；改为半径 7，则仅在近端相切。这里比较的是到圆周点的距离；从外点作切线的长度是 $\sqrt{d^2-R^2}$，见割线切线定理。

参考资料

• 《几何原本》III.8：圆外点到圆周的距离。原典把近侧和远侧圆弧分别排序，这里由统一的距离式推出。
• 推导关联：《几何原本》III.7：圆内点到圆周的距离。