割线切线定理

从圆外点 $P$ 引一条割线，先后交圆于 $A,B$，其中 $A$ 较近；再从 $P$ 引切线，切于 $T$。则 $$PA\cdot PB=P{T}^2.$$ 这是《几何原本》第三卷命题 36。若有两条不同割线，还可推出各自的“外段乘全长”相等；共同的值常称 $P$ 对此圆的幂。

用圆心距把两种长度连起来

圆心为 $O$、半径为 $R$，记 $OP=d>R$。从 $O$ 向割线所在直线作垂足 $M$。若半弦 $MA=MB=q$，且沿割线从 $M$ 到 $P$ 的有向距离绝对值为 $u>q$，则 $$PA\cdot PB=(u-q)(u+q)=u^2-q^2.$$ 直角三角形给 $u^2=d^2-O{M}^2$、$q^2=R^2-O{M}^2$，相减得到 $PA\cdot PB=d^2-R^2$。另一方面，切线与半径垂直使 $OPT$ 为直角三角形，故 $P{T}^2=d^2-R^2$。两式相等，证明完毕。

图中割线与切线都从 $P$ 出发，金色的 $PT$ 只触圆一次，绿色割线依次遇 $A,B$。若 $R=3,d=5$ 且割线过圆心，则 $PA=2,PB=8,PT=4$，确有 $2\cdot 8=4^2$。

外段乘全长等于切线段的平方。

参考资料

• 《几何原本》III.36：割线外段乘全长等于切线段平方。
• 继续阅读：相交弦定理、割线切线定理的逆命题。
• 推导关联：《几何原本》III.18：半径垂直切线。