圆弧的平分

给定圆上两端点 $A,B$，一条指定的弧可以用尺规平分。这是《几何原本》第三卷命题 30；若没有指定小弧还是大弧，两个平分点通常不同。

作弦的垂直平分线

先连成弦 $AB$，作它的垂直平分线。这条线经过圆心 $O$，与圆周交于 $U,V$。选位于指定弧上的交点：若指定小弧，取小弧上的点；若指定大弧，取另一个点。

为什么选中的点 $U$ 真能平分？沿垂直平分线的镜像反射交换 $A$ 和 $B$，却固定 $U$ 和整圆。因此指定弧的一半 $\widehat{AU}$ 被映成另一半 $\widehat{UB}$，两弧相等。也可以用等弦 $AU=UB$ 与弦、圆心角与弧的对应来证明。

若 $AB$ 是直径，两个指定弧都是半圆，垂直于它的直径在上下半圆各给一个平分点；方法仍然成立。若 $A=B$，所谓端点间小弧退化，需要先说清要平分的是整圆还是零弧，不能照搬本命题。

参考资料

• 《几何原本》III.30：平分给定圆弧。
• 继续阅读：圆心的尺规确定、圆周角定理。
• 推导关联：《几何原本》III.28：等弦截等弧。