积分

积分（integration）把许多小部分的贡献累积为一个整体。定积分用分割、求和与极限定义总量；不定积分表示一个函数的全部原函数。下面先从一个可以亲手计算的面积开始，再说明二者怎样联系。

用矩形量出一块曲边面积

求曲线 $y = x^{2}$ 、横轴以及直线 $x = 0, x = 1$ 围出的面积。长方形的面积会算，曲边区域却没有固定高度。把横向区间分成四段，每段宽 $1 / 4$ ，用右端点的函数值作高度，得到近似值 $\frac{1}{4} [{(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{2}{4})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 1^{2}] = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{64} = \frac{15}{32} .$ 图中的四个矩形就是这次计算。平方函数在此区间递增，所以矩形顶边都不低于对应曲线，这个数偏大。若改用左端点高度，得到 $(0 + 1 + 4 + 9) / 64 = 7 / 32$ ，它偏小。

在零到一区间以四个右端点矩形近似平方函数下面的面积 — 四个右端点矩形总面积为15/32；缩小各段宽度，可以缩小高估与低估之间的差。

分成 $n$ 段时，每段宽 $1 / n$ ，第 $k$ 个右端点为 $k / n$ ，所以右端点和为 $U_{n} = \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{k}{n})}^{2} \frac{1}{n} = \frac{1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{6 n^{2}} .$ 这里用了平方和公式 $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = n (n + 1) (2 n + 1) / 6$ ，它可由逐项相加 $(k + 1)^{3} - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1$ 并使用 $\sum k = n (n + 1) / 2$ 得出。左端点和少了最后一项 $1 / n$ ，因此 $L_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2 n} + \frac{1}{6 n^{2}}, U_{n} - L_{n} = \frac{1}{n} .$ 上下两种近似都趋于 $1 / 3$ ，夹在中间的任何代表点和也趋于同一个数。这给出了面积的候选值。

下图把2、4、8等分放在同一尺度上。绿色矩形在曲线下方，金色矩形覆盖曲线；两套矩形总面积之差依次为 $1 / 2, 1 / 4, 1 / 8$ 。图示的是高估与低估之间的差在缩小，面积值则由上面的和式确定。

平方函数下面积以二四八等分分别画出上下矩形，列出对应上下和，差依次缩小为二分之一四分之一八分之一 — 增加分段时，两套矩形共同夹住同一块曲边区域。

从等分矩形到定积分的定义

等分和为计算提供方便，定义则要涵盖不等分。设有界实函数 $f$ 定义在有限区间 $[a, b]$ ，其中 $a < b$ 。取分点 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b, Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1},$ 在第 $i$ 段内选一个代表点 $ξ_{i}$ ，形成黎曼和 $S = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i} .$ 每一项都是“高度乘宽度”。记最大段长为 $‖ P ‖ = max_{i} Δ x_{i}$ 。如果存在数 $I$ ，对每个 $ε > 0$ 都能选出 $δ > 0$ ，使所有 $‖ P ‖ < δ$ 的划分、所有代表点选择都满足 $| S - I | < ε$ ，就称函数黎曼可积，记 $I = \int_{a}^{b} f (x) d x .$ 最大段长变小，意味着每一部分都被细分；只增加分段总数却一直留着一段很宽的区间，不足以达到这个要求。OpenStax §5.2介绍了这种求和定义。

回到平方函数，任一小段的最大、最小高度差为 $x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2} = (x_{i} + x_{i - 1}) Δ x_{i} \leq 2 Δ x_{i}$ 。全部高估与低估之间的差因而不超过 $2 \sum_{i} (Δ x_{i})^{2} \leq 2 ‖ P ‖ \sum_{i} Δ x_{i} = 2 ‖ P ‖ .$ 只要最大段长足够小，上下和就能任意接近。由下节的上下和判据，平方函数确实可积；它的积分须等于先前等分和的极限，故 $\int_{0}^{1} x^{2} d x = 1 / 3$ 。

同样的和式也可描述流量：若高度是每分钟多少升，宽度是持续多少分钟，每项就是这段进入的升数。 $d x$ 指明累积所针对的变量；积分的单位是函数值的单位乘以自变量的单位。

上下和与不可积的例子

对有界函数，在每个小区间取下确界 $m_{i}$ 和上确界 $M_{i}$ ，形成下和与上和。黎曼可积的等价判据是：对任意正误差，都存在一个划分，使 $\sum_{i} (M_{i} - m_{i}) Δ x_{i}$ 小于该误差。上下和把“所有代表点”变成两个可比较的极端。

闭区间上的连续函数具有一致连续性：同一个足够小的距离限制，可以让区间内任意两点的函数值相差小于给定误差。具体地，令每段振幅小于 $ε / [2 (b - a)]$ ，则上下和之差不超过 $\sum_{i} ε Δ x_{i} / [2 (b - a)] = ε / 2 < ε$ 。因此连续函数黎曼可积。有界且除有限个点外连续的函数仍然黎曼可积；特别地，有限个跳跃不破坏可积性：可将跳跃点附近区间取得很窄，使它们对总误差的贡献受控，而其余部分用连续性处理。

相反，在 $[0, 1]$ 上有理数处取 1、无理数处取 0 的函数不可黎曼积。任意非退化小区间都同时含有两类点，因此每段下确界为 0、上确界为 1；无论怎样细分，下和恒为 0，上和恒为 1。这是有界但不可黎曼积的明确反例。

定积分与原函数怎样连接

如果 $f$ 在 $[a, b]$ 连续，定义累计函数 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 。对内部点 $x$ ，其差商为小区间上的平均值： $\frac{A (x + h) - A (x)}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} [f (t) - f (x)] d t .$ 连续性保证当 $h$ 足够小时，被积差值在该小区间上一致小于任意给定误差；积分绝对值除以 $| h |$ 后仍被同一误差控制。因此 $A^{'} (x) = f (x)$ 。这一步是微积分基本定理的一部分。

若 $F$ 在 $[a, b]$ 连续，并在 $(a, b)$ 满足 $F^{'} = f$ ，则 $(F - A)^{'} = 0$ ，由中值定理，差值在区间上为常数。比较端点便得 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .$ 这也重新计算了开头的面积： $F (x) = x^{3} / 3$ 的导数是 $x^{2}$ ，因此 $\int_{0}^{1} x^{2} d x = F (1) - F (0) = 1 / 3$ ，与矩形求和一致。求和建立了积分，原函数使计算简便；基本定理的完整证明见微积分。

不定积分 $\int f (x) d x = F (x) + C$ 表示在一个区间上的全部原函数；两个原函数的差为常数，来自上述中值定理。定积分已经被端点固定为一个数，不再附加任意的 $C$ 。如果定义域不连通，各个区间的积分常数可以不同，不能强行用同一个常数跨过奇点。

当累积量有正负方向

取教学运动模型 $v (t) = t - 2$ 米每秒，时间范围 $0 \leq t \leq 3$ 秒。速度在前两秒为负，之后为正。位移为 $\int_{0}^{3} (t - 2) d t = {[\frac{t^{2}}{2} - 2 t]}_{0}^{3} = - \frac{3}{2} m .$ 路程则要在变号点拆开： $\int_{0}^{2} (2 - t) d t + \int_{2}^{3} (t - 2) d t = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} m .$ 物体先向负方向移动 2 米，再返回半米，最终位置比起点低 1.5 米，而总共走了 2.5 米。这里的负号是方向信息，并不是“负的几何长度”。

换元与分部积分：把求导规则反向使用

换元公式来自链式法则。设 $a < b$ ， $g$ 在 $[a, b]$ 上连续可导， $f$ 在包含 $g ([a, b])$ 的区间上连续；令 $u = g (x)$ ，则 $\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u .$ 这里不要求 $g$ 单调；右侧按有向上下限理解。设 $F^{'} = f$ ，链式法则给出 $(F (g (x)))^{'} = f (g (x)) g^{'} (x)$ ；两边积分得到 $F (g (b)) - F (g (a))$ ，正是右侧积分的端点差。例如 $\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x$ ，取 $u = x^{2}$ ，微分因子为 $d u = 2 x d x$ ，上下限从 0、1 变到 0、1，得到 $\int_{0}^{1} e^{u} d u = e - 1$ 。其中 $2 x$ 正是内层平方函数的导数。也可直接验证 $(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}$ ，再代入端点。

乘积求导公式积分后给出分部积分。在 $u, v$ 连续可导的区间上， $\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x .$ 以 $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ 为例，令 $u = x, v^{'} = e^{x}$ ，则原积分等于 $[x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ 。选择哪一项去求导，目标是让剩下的积分更简单，而不是为了凑出形式。

反常积分：端点有问题就先截断

黎曼积分的上述定义要求有限区间和有界函数。若区间无限或函数在端点无界，需先取正常积分，再研究截断参数的极限。对于 $p \neq 1$ ， $\int_{ε}^{1} x^{- p} d x = \frac{1 - ε^{1 - p}}{1 - p} .$ 因此当 $ε \to 0^{+}$ 时，该积分仅在 $p < 1$ 收敛，值为 $1 / (1 - p)$ ；当 $p = 1$ 时得到 $- \log ε$ ，发散。于是 $1 / \sqrt{x}$ 虽在 0 无界，反常积分仍为 2； $1 / x$ 则不行。

内部奇点必须从两边分别检查。例如 $\int_{- 1}^{1} d x / x$ 的普通反常积分不存在，因为左右积分分别发散。对称截断 $\int_{- 1}^{- ε} d x / x + \int_{ε}^{1} d x / x = 0$ 定义的是柯西主值，而非通常的收敛积分。若未经说明便用“正负抵消”给出 0，就把两个不同概念混在了一起。

线性、区间可加与平均值

若 $f, g$ 在同一区间黎曼可积，常数 $α, β$ 满足 $\int_{a}^{b} (α f + β g) = α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g .$ 理由可以从有限求和开始理解：在同一划分、同一组代表点下，和式本身就具有这个等式；各积分存在后再取极限即可。把区间在某点切成两段，两个积分也能相加为原区间的积分。约定交换上下限改变符号、两端相等时积分为零，就使区间可加性能够统一处理不同方向。

这些性质允许把复杂信号分解为容易处理的部分，但积分并不把所有运算都逐项穿过。例如一般情况下，乘积的积分不等于积分的乘积。在 $[0, 1]$ 取两个因子都为 $x$ ，乘积积分为 $1 / 3$ ，各自积分相乘则为 $1 / 4$ ；两者表达的累计关系不同。

若函数可积，区间平均值定义为 $(b - a)^{- 1} \int_{a}^{b} f$ 。当函数连续时，存在一点使函数值等于这个平均数。证明可以先用最小值、最大值夹住积分平均数，再用介值定理找出对应的点。连续性在这里保障中间值能够被取到；一般可积函数不一定真正取到自身平均值，例如取值仅为 0 和 1、两种状态各持续半个区间的阶跃函数，平均值是二分之一，却从未取这个值。

在非均匀分布的场景中，平均还需要权重。若非负权重 $w$ 的积分为 1，加权平均为 $\int f w$ 。概率密度对应这种归一化权重，因而把积分与期望联系起来。没有归一化就只能称加权总和，不能省略除以总权重的步骤。

可积不代表每一点都能恢复原来的高度

一个有界函数在有限多个点上的取值改变，不会改变其黎曼积分。可以把这些点分别放进总长度任意小的区间；由于函数仍有统一界，这些区间最多造成“界乘总长度”量级的差别，其他位置完全一致。因此定积分对孤立点的取值不敏感。

然而导数是点附近的变化结构，不能只凭积分值相同就认为函数逐点相同。例如在 $[- 1, 1]$ 上，函数除零点取 1 外处处取 0，其任意子区间积分都为零；对应累计函数恒为零，导数也恒为零，并没有在零点恢复原被积函数的值。这正说明基本定理的连续性条件在逐点恢复时有实际作用。

反过来，存在某个累计函数并不要求它在每一点都可导。把阶跃函数作为被积函数，累计函数可以连续而在跳跃位置有折角。

面积中的坐标变换与方向

换元公式中的导数因子反映局部长度如何改变。若将区间变量由 $x$ 改为 $u = 2 x$ ，一小段 $d x$ 对应 $d u = 2 d x$ ，所以 $d x = d u / 2$ 。遗漏这个因子等于在换了刻度之后仍用旧刻度累加，哪怕函数值替换得完全正确，总量也会错。

若变换使方向反转，例如 $u = 1 - x$ ，则 $d u = - d x$ ，上下限也随之对调。负号与方向变化相互配合，不能只保留其中一项。

当积分用来计算几何面积时，还需检查区域由哪些边界围成。两条曲线之间的面积不是无条件的“第一条减第二条”；应在每个区间内以较高函数减较低函数。如果曲线交叉，就在交点分段，或对差值取绝对值。计算有向差的积分可以发生抵消，而几何面积不能为负。

例如在 $[- 1, 1]$ 上比较 $y = x$ 与横轴，上下关系在零点改变。直接积分 $x$ 得零，说明左右有向贡献抵消；实际两块三角形面积之和为 1。判断“上减下”的工作属于几何分析，不能指望积分运算法则替代。

历史：求积问题与积分定义

古代几何已经研究曲线区域的求积。十七世纪，卡瓦列里等人的方法、巴罗的切线与求积关系、牛顿与莱布尼茨的微积分相继形成不同的计算路线。莱布尼茨的积分记号与其求和观点相连；这段发展史见 MacTutor 微积分史。

十九世纪黎曼在研究三角级数等问题时讨论了更一般函数的积分条件；其 1854 年的任教资格论文是黎曼积分历史的重要文本，见 MacTutor：黎曼传。黎曼的工作把积分的讨论从连续曲线扩展到更一般的函数。

来源与继续阅读

OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.2：定积分与黎曼和。
同书 §5.3：基本定理。
OpenStax，《Calculus Volume 2》§3.7：反常积分。
MacTutor：Bernhard Riemann；The rise of calculus：历史来源。
先修：极限、导数；相关：微积分、数值积分、期望。