相交弦定理

圆内两条弦 $AB$、$CD$ 交于 $E$，则两段长度的乘积相等： $$EA\cdot EB=EC\cdot ED.$$ 这就是相交弦定理，对应《几何原本》第三卷命题 35。$E$ 必须在圆内，且每对端点属于同一条弦。

两个三角形怎样相似

连结 $AC$ 与 $DB$。三角形 $EAC$ 的 $\mathrm{\angle }EAC$ 与三角形 $EDB$ 的 $\mathrm{\angle }EDB$ 都对着弧 $BC$，因而相等；$\mathrm{\angle }ECA$ 与 $\mathrm{\angle }EBD$ 都对着弧 $AD$，也相等。于是 $$\mathrm{△}EAC\sim \mathrm{△}EDB,\frac{EA}{ED}=\frac{EC}{EB},$$ 交叉相乘便得到所求的 $EA\cdot EB=EC\cdot ED$。辅助线的作用是把原来互不相邻的四段长度放进两个可比较的三角形。

两组圆周角相等，使相交弦的线段积相等。

例如 $EA=2,EB=6,EC=3$，就有 $ED=4$，因为两边乘积均为 12。若 $E$ 移到圆外，线段次序改变，应改用割线切线定理，不能照抄本图中“内点的四段”。

参考资料

• 《几何原本》III.35：相交弦的线段积相等。
• 继续阅读：圆周角定理、割线切线定理。
• 推导关联：《几何原本》III.20：同弧圆周角。