演绎推理与三段论

演绎推理从已经给定的前提，按有效规则得到结论。有效性说的是：只要前提都真，结论便不可能假；它并不自动保证前提本身符合现实。三段论是把两个关于类别的前提接成结论的一种传统形式。

一条从任意对象出发的推理

设 $S(x)$ 表示“$x$ 是正方形”，$R(x)$ 表示“$x$ 是矩形”，$Q(x)$ 表示“$x$ 是四边形”。已知 $$\mathrm{\forall }x(S(x)\Rightarrow R(x)),\mathrm{\forall }x(R(x)\Rightarrow Q(x)).$$ 任取一个满足 $S(a)$ 的对象 $a$。第一条前提给 $R(a)$，第二条接着给 $Q(a)$。由于 $a$ 不是事先挑出的特例，可得 $\mathrm{\forall }x(S(x)\Rightarrow Q(x))$。用集合语言，它就是 $S\subseteq R\subseteq Q\Rightarrow S\subseteq Q$。图形直观是三层包含关系，真正的证明则是对任意元素走完两次蕴含。

这类推理常被口头写成“所有正方形是矩形；所有矩形是四边形；所以所有正方形是四边形”。“所有 A 是 B”只给 $A\subseteq B$；不能倒过来推出“所有 B 是 A”。长宽不等的矩形就是反例。

两条常用的有效规则

若已知 $P$ 及 $P\Rightarrow Q$，可以推出 $Q$，称为肯定前件。若已知 $\mathrm{\neg }Q$ 及 $P\Rightarrow Q$，可以推出 $\mathrm{\neg }P$，称为否定后件；它使用原命题与逆否命题等价的关系。

若只有 $Q$ 和 $P\Rightarrow Q$，不能推出 $P$。设 $P$ 为“整数 $n$ 是 4 的倍数”，$Q$ 为“$n$ 为偶数”；取 $n=6$，$Q$ 真而 $P$ 假。类似地，从 $\mathrm{\neg }P$ 也不能推出 $\mathrm{\neg }Q$。把这两个错误与有效规则逐个用同一个数核对，比只记名称更稳妥。

前提、形式与数学事实

假设“所有素数都为奇数；2 是素数；因此 2 为奇数”。推理形式与上面的三段论相同，却有假的大前提——2 是偶素数。有效的形式不会把假的前提变成事实。数学证明既要检查每一步的推理形式，又要说明定义、公理或先前定理怎样支持前提。数学命题解释如何写清量词；直接证明与逆否证明把这些规则用于可完整复算的数论例子。

参考资料

• Open Logic Project《forall x: Calgary》，有效推理与自然演绎。
• MIT《Introduction to Proofs》，条件命题与证明规则。