归纳推理与类比推理

归纳推理从已观察到的若干特例提出一般猜想；类比推理借用一个已知问题的结构，为新问题寻找可能的关系。两者在发现规律时有用，但特例和相似形状不会自动给出全称结论。数学归纳法名字也含“归纳”，其起点与传递步骤却构成演绎证明，不能同观察几个数混为一谈。

从若干个数提出猜想

设 $S_{n} = 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}$ 。计算前几项得到 $S_{1} = 1$ 、 $S_{2} = 9$ 、 $S_{3} = 36$ 、 $S_{4} = 100$ 。这些数依次是 $1^{2}, 3^{2}, 6^{2}, 1 0^{2}$ ；括号内又是前 $n$ 个正整数之和。因此可以猜： $S_{n} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} (n \geq 1) .$ 这一步只是把观察转成一个明确的候选命题。即使再算几百项，也未检查所有正整数。

猜想有了精确形式，可以证明。 $n = 1$ 时显然成立。假设在某个正整数 $k$ 处成立，把下一项 $(k + 1)^{3}$ 加上去： $\begin{matrix} S_{k + 1} & = \frac{k^{2} (k + 1)^{2}}{4} + (k + 1)^{3} \\ = \frac{(k + 1)^{2} (k^{2} + 4 k + 4)}{4} \\ = {(\frac{(k + 1) (k + 2)}{2})}^{2} . \end{matrix}$ 中间一行把 $(k + 1)^{2}$ 提出，再把余下的 $k^{2} + 4 k + 4$ 写成 $(k + 2)^{2}$ ，因此正好得到下一项。起点与任意 $k$ 的传递都已证明，才可断言公式对全部正整数成立。

类比提出式子，展开负责验算

已知平方差 $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ ，它提示立方差也许含因子 $a - b$ 。若暂猜第二个因子是二次式，实际相乘可检验 $\begin{matrix} (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) & = a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3} \\ = a^{3} - b^{3} . \end{matrix}$ 所以 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 。类比帮我们找到待试的形式，消去交叉项的乘法计算才是证明。若只因“平方差可分解”就猜 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + b^{2})$ ，取 $a = b = 1$ 即见左边 2、右边 4；类比可能选错符号和交叉项。

从猜想到可证命题

写猜想时至少注明对象范围。比如 $n^{2} - n + 41$ 在 $n = 0, 1, 2$ 时给出 41、41、43，可能诱人猜“对所有非负整数都是素数”；取 $n = 41$ 却得到 $4 1^{2}$ ，立即推翻。反例指出的是全称猜想失败，并不否定前几次计算。发现阶段可多试边界值、零、负数和异常输入；证明阶段须明确使用哪些条件，再选择直接或间接方法。

参考资料