二元函数的极限与连续性

二元函数的极限要求输入点从平面内任何允许的方向靠近目标点时，函数值都靠近同一个数。与一元函数只能从左右两侧靠近相比，平面里有无数条直线和弯曲路径；比较几条路径可以否定极限，却不能单靠这些比较证明极限存在。

圆盘中的误差条件

设 $f$ 定义在 $D \subseteq ℝ^{2}$ 上， $(a, b)$ 是 $D$ 的聚点。记距离 $r = \sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}$ 。说 $lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y) = L$ ，意思是对每个 $ε > 0$ ，都能选 $δ > 0$ ，使所有满足 $(x, y) \in D$ 且 $0 < r < δ$ 的输入都有 $| f (x, y) - L | < ε$ 。 $0 < r$ 排除了中心点本身，因此函数在中心是否有定义，不影响极限的判定。

这句话把一元极限中的小区间换成了小圆盘，并保留了相同的量词顺序：先给输出精度，再找输入范围，而范围内每个允许点都要通过检查。若 $(a, b) \in D$ ，函数在此连续是指该极限等于实际点值 $f (a, b)$ 。在定义域边界，趋近只取 $D$ 内的点；这与一元函数在区间端点取单侧极限相对应。

两条路径就能否定一个极限

对 $(x, y) \neq (0, 0)$ ，令 $f (x, y) = x y / (x^{2} + y^{2})$ 。沿 $x$ 轴走，即 $y = 0$ ，恒有 $f (x, 0) = 0$ ；沿对角线 $y = x = t \neq 0$ ，却恒有 $f (t, t) = 1 / 2$ 。如果原点处有极限，沿这两条都属于定义域的路径必须趋向同一个值，而 $0 \neq 1 / 2$ 。所以二元极限不存在；给 $f (0, 0)$ 随便补一个数也不能使它连续。

即使把两个累次极限都算出来，也仍需检查联合趋近。本例对固定的 $x \neq 0$ 先令 $y \to 0$ ，内层极限为 0；再令 $x \to 0$ 仍是 0。反过来，先固定 $y \neq 0$ 令 $x \to 0$ ，再令 $y \to 0$ ，结果也为 0。两个计算都没有包含 $y = x$ 的同步变化，因此不能替代二元极限。

平面原点附近画出沿x轴与沿y等于x对角线的两条趋近路径，前一条函数值零，后一条函数值二分之一 — 两条路径都抵达原点，函数值却保持不同，故没有共同极限。

用统一的界证明连续

路径检验给出反例很快，但要保证所有路径得到同一结果，需要一个覆盖整片小圆盘的估计。定义 $g (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0) . \end{matrix}$ 对非零点，因为 $x^{2} / (x^{2} + y^{2}) \leq 1$ ，所以 $| g (x, y) - g (0, 0) | \leq | y | \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} = r .$ 给定 $ε > 0$ ，取 $δ = ε$ ，便使圆盘中每个 $r < δ$ 的点都满足 $| g (x, y) - 0 | < ε$ 。这证明了 $g$ 在原点连续，没有枚举路径。对原点以外的点，分母非零，商的连续性照常适用，因此 $g$ 在全平面连续。

此例也提醒人不要把连续与可微混成一件事。固定 $y = 0$ 或 $x = 0$ 时， $g$ 都为零，两个坐标方向的偏导在原点都是 0；但沿 $x = y = t$ ， $g (t, t) = t / 2$ ，它相对距离 $\sqrt{2} | t |$ 的比值绝对值恒为 $1 / (2 \sqrt{2})$ ，不是可微所需的 $o (r)$ 。偏导数进一步讨论两条截线为何不能代替整个平面的线性近似。

参考资料