正交矩阵

正交矩阵（orthogonal matrix）是列向量两两垂直、每列长度均为 1 的实方阵。它把正交单位坐标架送到另一组正交单位坐标架，所以能转动或翻转图形，却不改变长度和夹角。以下以三阶矩阵为主，结论对任意阶实方阵成立。

从列向量得到判定式

把 $Q$ 的列记作 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ 。乘积 $Q^{𝖳} Q$ 的第 $i, j$ 个元素恰是 $q_{i} \cdot q_{j}$ 。因此三列构成正交单位组，等价于 $Q^{𝖳} Q = I .$ 这个式子说明 $Q^{𝖳}$ 是 $Q$ 的左逆；方阵有左逆就可逆，故 $Q^{- 1} = Q^{𝖳}$ ，并且 $Q Q^{𝖳} = I$ 。于是行向量也两两垂直且长度为 1。

一次空间旋转

取绕 $z$ 轴逆时针旋转直角的矩阵 $R = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$ 它把 $e_{1}$ 送到 $e_{2}$ ，把 $e_{2}$ 送到 $- e_{1}$ ，而 $e_{3}$ 保持不动。每一列都是单位向量，且互相垂直，故 $R^{𝖳} R = I$ 。向量 $x = (2, 1, 3)$ 变为 $R x = (- 1, 2, 3)$ ；两者长度都为 $\sqrt{14}$ 。

平面上的单位正方形绕原点旋转九十度，原坐标轴e一和e二分别转到e二与负e一 — 图示旋转的 x、y 截面；三维中的 z 轴保持不动。

这种保持长度的现象可以一行推出来。对任意列向量 $x$ ， $| Q x |^{2} = (Q x)^{𝖳} (Q x) = x^{𝖳} Q^{𝖳} Q x = x^{𝖳} x = | x |^{2} .$ 把第二个 $x$ 换成 $y$ ，同样得到 $(Q x) \cdot (Q y) = x \cdot y$ ，所以非零向量的夹角也保留。任意两点 $x, y$ 的距离 $| x - y |$ 变成 $| Q (x - y) |$ ，同样不变。

反过来，若一个实矩阵的线性变换对每个向量都保持长度，则它也保持内积。由平方展开， $2 u \cdot v = | u + v |^{2} - | u |^{2} - | v |^{2}$ ；把每个向量换成变换后的向量，右侧三项都不变，故 $(Q u) \cdot (Q v) = u \cdot v$ 。取 $u = e_{i}, v = e_{j}$ ，得到各列 $q_{i} \cdot q_{j} = δ_{i j}$ ，从而 $Q^{𝖳} Q = I$ 。这里“每个向量”不可替换为“某一个向量”：例如只检查 $e_{2}$ 无法察觉把 $e_{1}$ 拉长的变换。

旋转与反射的符号

对 $Q^{𝖳} Q = I$ 取行列式，得 $(det Q)^{2} = 1$ ，所以 $det Q = 1$ 或 $- 1$ 。旋转例子的行列式为 1。若取反射 $S = diag (- 1, 1, 1)$ ，它把 $(x, y, z)$ 变成 $(- x, y, z)$ ，仍正交，但 $det S = - 1$ ：空间的方向被翻转。三维中行列式为 1 的正交矩阵是绕某轴的旋转；行列式为 -1 的正交矩阵包含反向，不能单靠“长度保持”把它叫成旋转。

三阶可逆矩阵不一定正交。例如 $diag (2, 1, 1)$ 的行列式为 2，可逆，却把 $e_{1}$ 的长度加倍；检验 $Q^{𝖳} Q$ 才能判别正交。若要把任意列向量逐步变为正交单位组，可看Gram-Schmidt正交化。

反过来也不能只用 $| det Q | = 1$ 判断正交。平面剪切 $T = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 的行列式为 1，面积保持不变，但 $T (0, 1) = (1, 1)$ ，长度由 1 变为 $\sqrt{2}$ 。面积不变比所有长度都不变弱得多。

参考资料

MIT OpenCourseWare，18.06SC，Orthogonal Matrices and Gram–Schmidt 单元：正交矩阵及其逆。
MIT OpenCourseWare，18.065，Lecture 3：正交列、长度保持与 $Q^{𝖳} Q = I$ 。
继续阅读：矩阵、行列式、Gram-Schmidt正交化。