幂函数的图像与性质

幂函数把变量放在底数、固定指数放在右上角，形如 $f (x) = x^{α}$ 。它与底数固定、变量在指数上的指数函数不同。先看几个能直接计算的指数，便能知道图像的定义域、对称性和增减方向为何不同。

三种指数，三种图像

$x^{2}$ 对任意实数有定义，输出非负； $x$ 与 $- x$ 得到同一值，图像关于纵轴对称。 $x^{3}$ 也对任意实数有定义，但保留输入的正负号，图像关于原点对称。 $x^{- 1} = 1 / x$ 必须排除 $x = 0$ ，在正、负半轴各有一支。

把输入取为 $1 / 2, 1, 2$ ，三种函数的输出分别是

$x$	$x^{2}$	$x^{3}$	$x^{- 1}$
$1 / 2$	$1 / 4$	$1 / 8$	$2$
$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$8$	$1 / 2$

在 $x > 1$ 一侧，更大的正指数上升得更快；在 $0 < x < 1$ 一侧，顺序会倒过来。负指数的曲线在正半轴下降，但这张表只提供线索，还不能替代对整个区间的判断。

用比较证明增减

对 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，平方差 $x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = (x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1}) > 0$ ，所以平方函数在正半轴递增。倒数差 $\frac{1}{x_{2}} - \frac{1}{x_{1}} = \frac{x_{1} - x_{2}}{x_{1} x_{2}} < 0$ 则说明倒数函数在正半轴递减。若取 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，正的 $k$ 次幂保留大小，倒数反转大小；更一般的实数指数需要先明确只在 $x > 0$ 上定义的约定。

$\sqrt{x} = x^{1 / 2}$ 在实数范围内要求 $x \geq 0$ ； $x^{1 / 3}$ 可对负数取实立方根。一个幂函数的具体定义域随指数而变，不应把每个 $x^{α}$ 都当作“所有实数都能代入”。指数与分数指数幂解释根式与有理指数的关系。

倍数变化与应用

若 $f (x) = x^{3}$ ，把正输入变成原来的 2 倍，输出变成 $(2 x)^{3} = 8 x^{3}$ 。相似立方体的边长翻倍、体积变八倍，是一条可由几何证明的尺度规律。若只观察到几个物体的数据接近立方关系，还要检验材质与形状假设；详见幂函数与尺度律。

试算：从 $x = 2$ 到 $x = 4$ ， $x^{2}$ 的输出由 4 到 16，乘 4； $x^{- 1}$ 由 $1 / 2$ 到 $1 / 4$ ，乘 $1 / 2$ 。输入都是翻倍，两种幂函数却朝相反方向变化。

参考资料

OpenStax，《Precalculus 2e》，§3.3：幂函数与多项式图像。
继续阅读：函数的单调性与最值、幂函数与尺度律、指数函数。