指数函数

指数函数把输入放在指数位置，形如 $f (x) = a^{x}$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 。它的特征是输入每增加同样的量，输出总乘同样的倍数。底数大于 1 时增长；底数在 0 与 1 之间时衰减。

从连续翻倍读出函数

设某个理想化数量在 $t = 0$ 为 5，每经过一个等长时间单位恰好翻倍，则整数时刻的记录依次为 5、10、20、40。用 $N (t) = 5 \cdot 2^{t}$ 表示这个规则。对于任意允许的实数时间，指数运算按指数与分数指数幂的方式扩展；模型还假定中间时刻延续同样的倍数规律。

$N (t + 1) = 5 \cdot 2^{t + 1} = 2 N (t)$ ，说明“每增加 1，乘 2”；而 $N (t + 2) = 4 N (t)$ 。这与一次函数“每增加 1，加同一个数”不同。如果实际过程只在整数期结算，连续时刻的数值是额外的建模选择，不是离散记录自动给出的事实。

底数决定图像方向

$2^{x}$ 经过 $(0, 1)$ 、 $(1, 2)$ 、 $(- 1, 1 / 2)$ ，始终为正并严格递增。 $(1 / 2)^{x} = 2^{- x}$ 也经过 $(0, 1)$ ，却严格递减；它的图像是 $2^{x}$ 关于纵轴的镜像。一般 $a > 1$ 时 $a^{x}$ 递增， $0 < a < 1$ 时递减，定义域均为全体实数，值域均为 $(0, \infty)$ 。

当 $x$ 沿着使函数变小的方向远去，函数值越来越接近零却不会等于零。因此横轴是水平渐近线，不是“最终衰减为零的时刻”。底数 $a = 1$ 给出常数 1，通常从指数函数的研究中单独排除。

一个衰减模型的检查

设一种合成教学案例中的样品，每 3 小时剩余原量的一半，起始量 80 克。把 $t$ 以小时计，模型为 $M (t) = 80 {(\frac{1}{2})}^{t / 3}, t \geq 0.$ 在 $t = 6$ 小时，指数为 2，剩余 $80 / 4 = 20$ 克。代回时间 $t + 3$ 可得 $M (t + 3) = M (t) / 2$ ，与“每三小时减半”的假设一致。这个函数只有在衰减比例保持稳定、没有补充与额外损失时才适用；真实放射性衰变还涉及大量粒子的随机过程，见指数增长与衰减。

练习：初值为 7，每经过两小时乘 3，写出模型并求四小时的值。 $N (t) = 7 \cdot 3^{t / 2}$ ，所以 $N (4) = 7 \cdot 3^{2} = 63$ 。检验：0、2、4 小时依次为 7、21、63，确实每两小时乘 3。

参考资料

OpenStax，《Precalculus 2e》，§4.1：指数函数的定义与性质。
继续阅读：对数与对数函数、不同函数的增长、指数增长与衰减。