函数的零点

函数的零点是使 $f (x) = 0$ 的输入 $x$ 。在图像上，它对应曲线与横轴的交点；在方程中，它就是解。找零点时常先判断存在，再判断有几个，最后才考虑怎样近似计算。

异号端点与连续性

求方程 $x^{2} - 2 = 0$ 的正解。令 $f (x) = x^{2} - 2$ ，有 $f (1) = - 1$ 、 $f (2) = 2$ 。多项式在闭区间 $[1, 2]$ 连续，因此由介值定理，中间至少存在一个零点。这里同时用了连续和两端异号；缺少连续性时，符号跳过零也可能发生。

若只问正零点是否唯一，还要再加一条理由。对 $0 \leq x_{1} < x_{2}$ ， $x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = (x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1}) > 0$ ，所以 $x^{2} - 2$ 在非负半轴严格递增，不可能有两个不同的正零点。存在性与唯一性来自不同论证。

端点同号不能断言没有根

$g (x) = x^{2}$ 在 $[- 1, 1]$ 的两个端点都为正，零处仍有零点。端点异号是保证连续函数至少有一个零点的充分条件，不是必要条件。反过来， $h (x) = 1 / x$ 在 $- 1$ 与 1 处异号，却在 0 处没有函数值；它不满足整个闭区间连续的前提，所以不能用介值定理。

图像可以提示零点可能在哪些区间，但画图的像素或表格的有限采样无法保证所有零点都被找到。对二次函数，可先用判别式判断实根数；对一般连续函数，若找到异号区间，二分法能把至少一个零点逐步夹紧。

从方程走向可核验的近似

对 $f (x) = x^{2} - 2$ ，区间 $[1, 2]$ 的中点 1.5 满足 $f (1.5) = 0.25 > 0$ ，于是零点保留在 $[1, 1.5]$ ；新中点 1.25 满足 $f (1.25) = - 0.4375 < 0$ ，保留 $[1.25, 1.5]$ 。每一步不仅给一个小数，还给一个肯定包含根的区间。若要求所有零点，还应另查负半轴；同一方程还有 $- \sqrt{2}$ 。

练习： $p (x) = x^{2} + 1$ 在实数中有没有零点？任意实数 $x$ 都有 $x^{2} \geq 0$ ，所以 $p (x) \geq 1 > 0$ ，没有实零点。几个采样点为正只是观察，这个对所有输入成立的不等式才是证明。

参考资料

人民教育出版社，高中数学 A 版章节讲义目录：函数零点与二分法的课程位置。本站论证与算例独立编写。
继续阅读：二分法、二次函数、方程与不等式。