复数与复平面

方程 $x^{2} + 1 = 0$ 在实数中没有解，因为实数的平方不为负。把数系扩充为包含一个满足 $i^{2} = - 1$ 的数 $i$ ，就能处理这类方程。形如 $z = a + b i$ （ $a, b \in ℝ$ ）的数称为复数； $a$ 是实部， $b$ 是虚部的系数，二者都是实数。

一个复数是一对实数

$a + b i = c + d i$ 当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$ 。因此复数 $z = a + b i$ 对应平面上的点 $(a, b)$ ：横轴是实轴，纵轴是虚轴，这个平面称复平面。实数落在横轴，纯虚数如 $3 i$ 落在纵轴。零是两个轴的交点，通常不称为纯虚数。

复平面中点二一表示复数二加i，点二负一表示其共轭，二者关于实轴对称 — 复数的实部是横坐标，虚部系数是纵坐标；到原点的距离是模。

以 $z = 2 + i$ 为例，它在点 $(2, 1)$ 。它到原点的距离称模： $| z | = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$ 。一般地 $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 。把点关于实轴镜像得到共轭复数 $\overline{z} = a - b i$ 。两者相乘时虚部抵消： $z \overline{z} = (a + b i) (a - b i) = a^{2} + b^{2} = | z |^{2} .$ 这条恒等式既把模与运算连起来，也将在除法中消去分母的虚部。

加法仍是平面位移

按照同类项相加， $(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$ 。复平面上的点便按向量的平行四边形法则相加。例如 $(2 + i) + (- 1 + 2 i) = 1 + 3 i$ ，对应从点 $(2, 1)$ 再移动 $(- 1, 2)$ 到 $(1, 3)$ 。减法用相反数： $(2 + i) - (- 1 + 2 i) = 3 - i$ 。

这个平面表示不意味着可以按“大小”给所有复数排成与实数兼容的一条数轴顺序。若假设有与实数同样的有序数域规则，非零平方应为正；但 $i^{2} = - 1$ ，立刻冲突。可以比较复数的模，却不能由 $| z_{1} | < | z_{2} |$ 写成 $z_{1} < z_{2}$ 。

回到一元二次方程

求 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 。配方得 $(x - 1)^{2} = - 4$ ，所以 $x - 1 = \pm 2 i$ ，解为 $1 + 2 i$ 与 $1 - 2 i$ 。代回 $x = 1 + 2 i$ ： $(x - 1)^{2} = (2 i)^{2} = - 4$ ，确实满足配方后的方程。两个解在复平面上关于实轴对称；实系数二次方程出现非实根时常成共轭对。

练习： $z = - 3 + 4 i$ 的共轭与模是多少？镜像得 $- 3 - 4 i$ ，到原点距离为 $\sqrt{9 + 16} = 5$ 。模不是 $- 3 + 4 = - 1$ ，也不是一个带方向的向量。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§3.1：复数的直角形式与复平面。本文算例独立编写。
继续阅读：复数的四则运算、复数的三角表示、欧拉公式。