棱柱、棱锥与棱台

棱柱的平行截面始终与底面全等，棱锥的平行截面越靠近顶点越小。体积同时依赖底面积和垂直高；侧棱倾斜时，它不是高。先弄清所测的是实体内部的体积，还是外表面需要覆盖的面积，再选公式。

棱柱：同样截面叠成体积

设底面积为 $B$ 、两底面平面间垂直距离为 $h$ 。不论棱柱是直的还是斜的，与底面平行的每个截面面积都是 $B$ ，因此体积为 $V = B h$ 。可以把它想成许多极薄且同面积的层叠在一起；斜棱柱把层横向平移，不改变每层面积或总高度。

直棱柱的侧面是矩形，若底面周长为 $p$ ，各侧面宽度的和为 $p$ 、高度都为 $h$ ，故封闭直棱柱表面积为 $S = 2 B + p h$ 。斜棱柱的侧面通常是平行四边形，不能把侧棱或垂直高随手代进这条直棱柱公式。

棱锥：相似截面解释三分之一

底面积 $B$ 、高 $h$ 的棱锥有 $V = B h / 3$ 。从顶点向底面量到高度 $t$ ，平行截面的每条线段是底面对应长度的 $t / h$ 倍，面积因而是 $B (t / h)^{2}$ 。把高度等分成 $n$ 个薄层，用每层上下两端的截面积夹住其体积，得到 $\frac{B h}{n^{3}} \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{2} \leq V \leq \frac{B h}{n^{3}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} .$ 平方和 $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = n (n + 1) (2 n + 1) / 6$ ；上下两界在层数增加时都趋向 $B h / 3$ 。这说明三分之一来自截面积按长度比的平方变化，而不是所有棱锥恰好比某个棱柱“少两块”。若尚未学习极限，可先用下例掌握公式，证明留到数列的极限再读。

一个棱锥在底面上方不同高度的平行截面依次缩小，底面边长六而中高处边长三 — 中高处的相似比是二分之一，截面积却只有底面积的四分之一。

例如正四棱锥底面边长 6、高 4，则 $B = 36$ ，体积 $V = 36 \cdot 4 / 3 = 48$ 立方单位。若要算侧面积，还需侧面三角形从底边中点到顶点的斜高 $l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ 。四个侧面面积共 $4 (6 \cdot 5 / 2) = 60$ ，加底面得到封闭表面积 96 平方单位。侧面积用斜高 5，体积用垂直高 4；混用会得到不同错误。

棱台：两端面积都进入公式

设棱台下、上底面积为 $B_{1}, B_{2}$ ，高为 $h$ ，两底相似。记相似比 $k = \sqrt{B_{2} / B_{1}}$ （ $0 < k < 1$ ），把被截去的小棱锥补回，原大棱锥高为 $H = h / (1 - k)$ ，小棱锥高为 $k H$ 。相减得 $V = \frac{B_{1} H - B_{2} k H}{3} = \frac{B_{1} h (1 - k^{3})}{3 (1 - k)} = \frac{h}{3} (B_{1} + \sqrt{B_{1} B_{2}} + B_{2}) .$ 例如两端是边长 4 与 2 的正方形，高 3，则 $B_{1} = 16, B_{2} = 4$ ，体积 $3 (16 + 8 + 4) / 3 = 28$ 立方单位。它小于同高、下底为 16 的棱柱体积 48，大于同底同高棱锥的 16，与截去顶部后的形状相符。

练习：底面积 18、高 5 的棱柱与同底同高的棱锥，体积分别是多少？分别为 90 与 30 立方单位；底面积和高相同，不意味着实体体积相同。

参考资料

OpenStax，Contemporary Mathematics，§10.7：棱柱的体积与表面积。
继续阅读：圆柱、圆锥与圆台、球的体积与表面积、数列的极限。