球的体积与表面积

球是到固定中心距离不超过 $R$ 的空间点的集合；其边界球面只含距离恰等于 $R$ 的点。半径加倍，表面积变为原来的四倍，体积变为原来的八倍。下面用截面解释体积公式，并把它与表面积区别开来。

横切一层的面积

把球心放在原点，竖直方向坐标记作 $z$。距中心 $|z|\le R$ 的水平截面是圆盘：截面半径 $\rho$ 与竖直距离 $|z|$ 构成直角三角形，故 ${\rho }^2+z^2=R^2$，截面积为 $$A_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{h}}(z)=\pi (R^2-z^2).$$ 中心处截面最大，越靠近两极越小，极点处面积为零。把每层都当成面积 $\pi R^2$ 的圆柱层，会高估球的体积。

从圆柱中挖去双圆锥

取半径 $R$、高 $2R$ 的圆柱，中心高度与球心齐平。再挖去上下两个圆锥，它们都以圆柱的端面为底、球心为顶点。在高度 $z$，圆柱截面积为 $\pi R^2$，双圆锥的截面半径为 $|z|$、面积为 $\pi z^2$；剩下的截面积恰等于 $A_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{h}}(z)$。同高处截面积处处相等，由卡瓦列里原理，两实体体积相等。

球的切片面积为派乘R平方减z平方，正好等于圆柱切片减去圆锥切片。

圆柱体积为 $2\pi R^3$；每个圆锥底面积 $\pi R^2$、高 $R$，体积 $\pi R^3/3$。因此 $$V_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{h}}=2\pi R^3-2\cdot \frac{\pi R^3}{3}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$ 这个推导把三分之一来自哪里、为何要减两次都留在图和公式里；卡瓦列里原理的极限基础可在积分中继续理解。

表面积量的是外壳

球面面积为 $S=4\pi R^2$。与体积的量纲比较，表面积以平方单位计、体积以立方单位计。一个利用薄壳的极限解释是：半径从 $R$ 增至 $R+\epsilon$，外层体积 $$\frac{4}{3}\pi [(R+\epsilon {)}^3-R^3]=4\pi R^2\epsilon +4\pi R{\epsilon }^2+\frac{4}{3}\pi {\epsilon }^3.$$ 当壳足够薄，体积与厚度之比趋向 $4\pi R^2$；平滑球面的这条薄壳极限给出面积公式。它是表面积的极限推理，不是把球误当成半径 $R$、高 $2R$ 的圆柱侧面。

若半径为 3 厘米，表面积 $36\pi$ 平方厘米、体积 $36\pi$ 立方厘米；两数恰巧同为 $36\pi$，但单位不同。把半径改为 6 厘米，面积变为 $144\pi$、体积变为 $288\pi$，四倍和八倍立即分开。

参考资料

• OpenStax，Contemporary Mathematics，§9.3：几何体积及单位。
• 继续阅读：立体图形与直观图、圆柱、圆锥与圆台、积分。