员工通勤时长的分层调查

分层调查把总体分成事先定义的层，在每一层独立抽样，最后按各层在总体中的大小合并估计。下面用一组教学数据完成从问题、抽样、计算到解释的全过程；数字只用于演算，不代表某家真实公司的调查结果。

调查对象与样本

假设某公司有办公室员工 80 人、车间员工 120 人，想估计全体 200 人某个约定工作日的单程通勤时长。两组各从完整名单随机抽取 4 人，获得如下分钟数：

岗位层	总人数	样本分钟数	样本均值	通勤至少 30 分钟的人数
办公室	80	20，30，40，50	35	3
车间	120	10，15，20，25	17.5	0

两层的入样比例不同：办公室为 $4/80$，车间为 $4/120$。因此把 8 个数直接平均，会让人数只占 40% 的办公室在样本中占到 50%。获取数据与抽样框说明为什么名单和抽样规则应在分析前确定。

按总体人数恢复权重

办公室与车间的总体权重分别是 $W_1=80/200=0.4$、$W_2=120/200=0.6$。分层均值估计为 $${\hat{\mu }}_{\mathrm{s}\mathrm{t}}=W_1{\bar{x}}_1+W_2{\bar{x}}_2=0.4\times 35+0.6\times 17.5=\mathrm{24.5.}$$ 把 8 个观测直接平均则得 $(20+30+40+50+10+15+20+25)/8=26.25$ 分钟；相差 1.75 分钟的原因是错误地把两层看成一样大，而不是计算器误差。在每一层确实按简单随机抽样、记录无遗漏的条件下，分层估计量针对全公司均值是无偏的；一次样本所得 24.5 仍不是已知真值。

同一权重也可估计全公司“至少 30 分钟”的比例：办公室样本比例为 $3/4$，车间为 0，所以 $${\hat{p}}_{\mathrm{s}\mathrm{t}}=0.4\times \frac{3}{4}+0.6\times 0=\mathrm{0.30.}$$ 直接把 3 除以 8 得 $0.375$，再次高估了办公室在总体中的份额。这个例子同时表明“总体平均通勤时长”和“超过阈值的比例”是两个不同的统计目标，同一份数据也须分别定义估计量。

结果所依赖的条件

只有 8 人时，样本偶然性可能很大。若拒答者恰好通勤较久，分层加权也不能凭空修复无回答偏差；若“通勤”有人从家门算起、有人从地铁站算起，测量定义不一致还会带来另一个误差。报告结果时应列出每层总体人数、抽取方式、实际回答人数、时长定义与估计公式。若要给出误差范围，还需各层内变异程度和抽样设计，不能只把 24.5 写成“约等于真实均值”。

练习：如果办公室样本仍为 35 分钟，车间样本均值改成 25 分钟，分层估计为多少？计算 $0.4\times 35+0.6\times 25=29$ 分钟；层的权重由总体人数决定，不随样本观测值改变。

参考资料

• OpenStax，Introductory Statistics 2e，§1.2：总体、样本与分层抽样。
• 继续阅读：分层随机抽样、样本均值、总体分布的估计。