样本均值

从 $n$ 个观测值 $x_1,\dots ,x_n$ 得到的样本均值是 $\overline{x}=(x_1+\cdots +x_n)/n$。它把样本缩为一个表示中心位置的数，却会受极端值影响。例如数据 2、3、4 的均值为 3；若第四个数是 31，均值变成 10，中位数仍为 3.5。

作为总体均值的估计

若 $X_1,\dots ,X_n$ 来自同一总体、每项均值为 $\mu$，则由期望的线性性，$E[{\overline{X}}_n]=n^{-1}\sum E[X_i]=\mu$。这称样本均值对 $\mu$ 无偏，并不表示一组已观察到的样本均值恰好等于 $\mu$。

若各项独立且方差均为 ${\sigma }^2$，则 $\mathrm{Var}({\overline{X}}_n)={\sigma }^2/n$，标准差 $\sigma /\sqrt{n}$ 称均值的标准误。增加样本量可以减少随机波动，但若抽样系统性遗漏某类个体，样本均值仍可能有偏；标准误公式不能消除选择偏差。

用偏差恒等式读懂均值

对任意常数 $c$， $$\sum _{i=1}^n(x_i-c{)}^2=\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+n(\overline{x}-c{)}^2.$$ 展开时交叉项含 $\sum (x_i-\overline{x})=0$，所以样本均值是使平方误差和最小的常数。这解释它与最小二乘法的联系，也说明极端值为何能显著拉动均值。

参考资料

• OpenStax，Introductory Statistics 2e，Descriptive Statistics。
• MIT 18.05，概率统计课堂讲义。
• 继续阅读：样本方差、抽样分布、最小二乘法。