总体分布的估计

总体分布描述目标总体中各取值或各区间各占多少。一次样本只能给出这些比例的估计，不能把样本的柱形直接当作总体的精确轮廓。按事先说明的抽样机制得到数据，再把频数、相对频数、直方图和累计比例对应起来，才知道图上每一块面积代表什么。

十个观测怎样变成分布

设某次教学演示中抽到 10 个非负整数记录，已排序为 $1,2,2,3,3,4,5,6,7,8$。先用宽度为 2 的区间 $[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10)$ 分组，频数依次为 1、4、2、2、1；相对频数除以 10，得 $0.1,0.4,0.2,0.2,0.1$。总和为 1，说明每个观测恰进一个组且没有遗漏。

若直方图横轴表示原变量，纵轴用频率密度，每柱高度是“相对频数 ÷ 组距”。本例的五个高度为 $0.05,0.20,0.10,0.10,0.05$，每柱面积是对应相对频数。例如第二柱宽 2、高 0.20，面积 0.40。把组距改为不等宽仍用相对频数直接作柱高，会让宽组在视觉上夸大或缩小其所占比例；详见直方图。

柱的面积给区间相对频数；阶梯高度给不超过某个阈值的样本比例。

从区间走到累计比例

样本经验分布函数定义为 $F_n(x)=\mathrm{\#}\{i:X_i\le x\}/n$。本例不超过 4 的值有 6 个，所以 $F_{10}(4)=0.6$；不超过 3 的值有 5 个，所以 $F_{10}(3)=0.5$。随着阈值增大，阶梯只会上升或保持不变。直方图回答“某个区间占多少”，经验分布函数回答“某个阈值以下占多少”，参见经验分布函数图。

若这 10 个值确由概率抽样获得，$F_{10}(4)=0.6$ 可作为总体中“不超过 4”的比例估计，但它仍有抽样波动。若名单漏掉一批普遍取值较大的人，0.6 的偏差不能由图的绘制精度发现。若只是为说明画法而手工选的十个数，则这些比例仅描述演示数据，不具有总体推断资格。

组距与极端值

把最后一个 8 改为 28，若仍只画到 10，图会漏掉一条记录；若把所有数据压到少数很宽的箱中，又会遮住原来 1—7 的差别。可同时报告原始点或箱线图、选择能覆盖全部数据的组距，并说明画图决定。图像展示的是数据经过分组后的摘要，不会自动恢复每个箱里观测的精确位置。

练习：原样本中不超过 5 的比例是多少？前七个值为 $1,2,2,3,3,4,5$，所以 $F_{10}(5)=7/10$。若有人答第二、三柱面积之和 0.6，他算的是区间 $[2,6)$ 的比例，漏掉了第一组中的 1；本例的观测值都是整数，因此第三组恰好包含 4 和 5。

参考资料

• OpenStax，Introductory Statistics 2e，§2.2：直方图与频数分布。
• 继续阅读：总体百分位数的估计、直方图、经验分布函数图。