双曲线

双曲线是到两个定点的距离差的绝对值等于固定正数 $2 a$ 的点集。两焦点相距 $2 c$ ，要有真正的双曲线，必须 $0 < a < c$ 。与椭圆的距离之和不同，距离之差把点分成左右两支。

从距离差到两支曲线

取 $F_{1} = (- 5, 0)$ 、 $F_{2} = (5, 0)$ ，规定 $| P F_{1} - P F_{2} | = 6$ 。点 $(3, 0)$ 到两焦点距离为 8 和 2，属于右支；点 $(- 3, 0)$ 属于左支。因为反三角不等式给出 $| P F_{1} - P F_{2} | \leq F_{1} F_{2} = 10$ ，所规定的差不能大于 10；等于 10 时点集退化为两条沿焦点轴向外的射线，等于零时是两焦点连线的垂直平分线。

标准方程的推导

一般令焦点为 $(\pm c, 0)$ 、 $0 < a < c$ 。在右支，到左、右焦点的距离 $r_{1}, r_{2}$ 满足 $r_{1} - r_{2} = 2 a$ 。仍有 $r_{1}^{2} - r_{2}^{2} = 4 c x$ ，于是 $r_{1} + r_{2} = 2 c x / a$ ，解这组和差得 $r_{1} = \frac{c x}{a} + a, r_{2} = \frac{c x}{a} - a .$ 把 $r_{1}^{2} = (x + c)^{2} + y^{2}$ 展开、消去 $2 c x$ ，得 $y^{2} = (c^{2} - a^{2}) x^{2} / a^{2} - (c^{2} - a^{2})$ 。令 $b^{2} = c^{2} - a^{2} > 0$ ，得到 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} + b^{2} .$ 式中 $| x | \geq a$ ，中间 $- a < x < a$ 没有曲线。右支 $x \geq a$ 时，刚求出的 $r_{1}, r_{2}$ 都非负；将方程反代可核实确为焦距，差为 $2 a$ 。左支由 $x \mapsto - x$ 的对称性得到，所以方程和原始绝对值条件等价。

顶点、渐近线和离心率

焦点轴为 $x$ 轴时，顶点为 $(\pm a, 0)$ ，中心为原点； $b$ 是确定渐近线斜率的参数，并非曲线在 $y$ 轴上的截距，因为曲线根本不碰到 $y$ 轴。右上支写成 $y = (b / a) \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ ，与直线 $y = (b / a) x$ 的纵向差为 $\frac{b}{a} x - y = \frac{b}{a} \frac{a^{2}}{x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}} ⟶ 0 (x \to + \infty) .$ 分母不断增大，差趋于零；到直线的垂距也趋零。因此两条渐近线为 $y = \pm (b / a) x$ 。渐近线并不与双曲线重合：把它代入标准式，左边是零，而曲线上必须等于一。离心率 $e = c / a > 1$ ；它与椭圆一样是“焦距参数/半长轴”，但范围相反。

双曲线右支上点(5,16/3)到两焦点的距离差为六，另画出渐近线 — 图中焦距差为 6；曲线与斜线的高度差随横坐标增大而缩小。

本例 $a = 3, c = 5, b = 4$ ，方程 $x^{2} / 9 - y^{2} / 16 = 1$ ，渐近线 $y = \pm 4 x / 3$ 。在 $x = 5$ 时，上支 $y = 16 / 3$ ，渐近线 $y = 20 / 3$ ，高度差仍有 $4 / 3$ ；“渐近”说的是向远处趋近，不是每个有限点都贴在直线上。

平移与竖直开口

若中心为 $(h, k)$ 且两支沿水平轴展开，标准式为 $(x - h)^{2} / a^{2} - (y - k)^{2} / b^{2} = 1$ ，焦点 $(h \pm c, k)$ 。若两支上下展开，则交换平方项的位置： $(y - k)^{2} / a^{2} - (x - h)^{2} / b^{2} = 1$ ，焦点 $(h, k \pm c)$ ，渐近线 $y - k = \pm (a / b) (x - h)$ 。例如 $(y + 1)^{2} / 4 - (x - 2)^{2} / 9 = 1$ 的中心为 $(2, - 1)$ ，顶点 $(2, 1), (2, - 3)$ ， $c = \sqrt{13}$ ；上下开口不能照搬水平式的焦点坐标。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§10.2 The Hyperbola：距离差、轴与渐近线。
先修：椭圆、圆锥曲线；继续：圆锥曲线的反射性质。