空间向量基本定理

空间向量基本定理说：如果三个向量 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 不共面，那么任意空间向量 $v$ 都能且只能写成 $v = α e_{1} + β e_{2} + γ e_{3}$ ，其中系数是实数。这三个向量称为一组基；“不共面”是不可省去的条件。

三个方向为何足够

想象一间房间有前后、左右、上下三个方向。沿这三个方向各走一段，能够到达房间中的任意位置。若把“上下”方向误换成另一条地面方向，三条路线都仍留在地面，再怎么相加也到不了架子上的点。数学上的“方向”无需互相垂直，只要三者不落在同一个过原点的平面。

取 $e_{1} = (1, 0, 0)$ 、 $e_{2} = (0, 1, 0)$ 、 $e_{3} = (1, 1, 1)$ 。它们不共面，因为前两个向量都在 $z = 0$ 平面内，而第三个不在。要表示 $v = (2, 3, 4)$ ，先看第三坐标，只能取 $γ = 4$ ；再看前两坐标， $α + 4 = 2$ 、 $β + 4 = 3$ ，故 $(2, 3, 4) = - 2 e_{1} - e_{2} + 4 e_{3} .$ 把右侧逐项相加为 $(- 2, 0, 0) + (0, - 1, 0) + (4, 4, 4) = (2, 3, 4)$ ，可以直接核对。这里的系数 $(- 2, - 1, 4)$ 与直角坐标 $(2, 3, 4)$ 不相同；“坐标”总是相对于选定的基而言。

存在性和唯一性的理由

先由 $e_{1}, e_{2}$ 张成一个平面。因 $e_{3}$ 不在该平面，对任意 $v$ ，可以唯一选取 $γ$ ，使 $v - γ e_{3}$ 落回这个平面；在平面内，再由不共线的 $e_{1}, e_{2}$ 唯一确定 $α, β$ 。用坐标检查时，把三个向量作为矩阵的三列，条件等价于该三阶矩阵的行列式不为零。于是线性方程组有且仅有一个解。

唯一性还有一种短证法。若同一 $v$ 有两种表示，把两式相减得到 $(α - α^{'}) e_{1} + (β - β^{'}) e_{2} + (γ - γ^{'}) e_{3} = 0$ 。三个不共面的向量不可能有非零系数的这种关系，所以三对系数一一相等。反过来，若 $e_{3} = e_{1} + e_{2}$ ，则 $0 = 0 e_{1} + 0 e_{2} + 0 e_{3} = 1 e_{1} + 1 e_{2} - 1 e_{3}$ ；零向量已有两种表示，唯一性立刻失效。

基与几何判断

固定基后，空间中的点与向量可用三个数计算，但同一几何关系不因换基而改变。两向量平行意味着它们的坐标三元组互为数倍；三个向量共面意味着其中一个可由另两个线性表示。判断长度和角度时，普通坐标的逐项内积公式只在正交单位基下直接成立；斜基须考虑基向量自身的长度和夹角。这也是后文用空间直角坐标系与向量坐标计算距离时先固定直角坐标系的原因。

复算。将上例的 $v$ 改为 $(1, 1, 0)$ ，第三坐标给出 $γ = 0$ ，前两坐标给出 $α = β = 1$ 。它落在 $e_{1}, e_{2}$ 所张成的平面；若仅凭“有三个坐标”就断言它含有 $e_{3}$ 分量，便忽略了所选的基。

参考资料

MIT OpenCourseWare，18.06SC Linear Algebra：线性独立、基与坐标。
先修：空间向量的线性运算、矩阵；后续：空间直线与平面的向量方程。