空间向量的线性运算

空间向量用长度和方向描述三维空间中的位移。平移一个箭头不会改变它代表的向量；把箭头放到共同起点后，才容易比较和计算。本篇先在图上做加法与数乘，再把同一件事写成坐标。

首尾相接与平行四边形

从点 $P$ 沿向量 $u$ 到 $Q$ ，再沿 $v$ 到 $R$ ，总位移 $\vec{P R}$ 定义为 $u + v$ 。把两箭头改放到同一起点，终点之间补成平行四边形，对角线仍是 $u + v$ 。同一段位移无论分几步走，首尾两点不变，所以 $(u + v) + w = u + (v + w)$ ；把两步交换次序，则得到 $u + v = v + u$ 。

从原点先沿向量u再沿向量v到终点；同一起点的u与v构成平行四边形，对角线是u加v — 蓝色折线和绿色对角线到达同一个点。

取直角坐标 $u = (1, 2, 0)$ 、 $v = (0, - 1, 2)$ 。第一、二、三坐标分别记录沿三条轴的位移，因此 $u + v = (1 + 0, 2 - 1, 0 + 2) = (1, 1, 2) .$ 从 $(0, 0, 0)$ 先到 $(1, 2, 0)$ ，再走 $v$ ，终点确实是 $(1, 1, 2)$ 。向量之差 $u - v = u + (- v)$ 则是从 $v$ 的终点指向 $u$ 的终点；两者须先摆到共同起点。

数乘与反向

实数 $t$ 与向量 $u$ 的数乘 $t u$ 沿同一直线，长度是 $| t | | u |$ 。 $t > 0$ 时方向相同， $t < 0$ 时反向， $t = 0$ 时得到零向量。坐标也逐项乘上 $t$ ：例如 $2 u = (2, 4, 0)$ 、 $- v = (0, 1, - 2)$ ，于是 $2 u - v = (2, 5, - 2)$ 。

分配律 $t (u + v) = t u + t v$ 可以从两边的每个坐标都等于 $t (u_{i} + v_{i})$ 看出。它也解释实际位移的缩放：同一方向多走两倍的路，再加另一段位移，等于把原路线中的这段单独加倍。

三个基方向与向量分解

固定右手直角坐标系，令 $e_{1} = (1, 0, 0)$ 、 $e_{2} = (0, 1, 0)$ 、 $e_{3} = (0, 0, 1)$ 。每个 $r = (x, y, z)$ 都能写成 $r = x e_{1} + y e_{2} + z e_{3} .$ 这是向量分解： $x, y, z$ 是在各轴方向上的有符号分量，不是三段长度一律为正的路。若另有 $r = x^{'} e_{1} + y^{'} e_{2} + z^{'} e_{3}$ ，逐坐标比较可得 $x = x^{'}, y = y^{'}, z = z^{'}$ ，所以在这一组基下分解唯一。

例如 $r = (2, - 1, 3) = 2 e_{1} - e_{2} + 3 e_{3}$ 。一条从 $A = (1, 2, 0)$ 到 $B = (3, 1, 3)$ 的位移是 $B - A = r$ ；这里第二分量为负，表示沿第二轴的反方向走一单位。若换用三条不共面的方向作基，分解仍唯一，但系数通常不再等于原坐标。其理由见基与维数。

例如把第一、二方向改为 $b_{1} = (1, 0, 0)$ 、 $b_{2} = (1, 1, 0)$ ，第三方向仍为 $b_{3} = (0, 0, 1)$ 。要求 $r = (2, - 1, 3) = α b_{1} + β b_{2} + γ b_{3}$ ，逐坐标比较得 $β = - 1$ 、 $α + β = 2$ 、 $γ = 3$ ，所以 $r = 3 b_{1} - b_{2} + 3 b_{3}$ 。同一向量的直角坐标是 $(2, - 1, 3)$ ，在新方向组下的系数却是 $(3, - 1, 3)$ 。如果三条方向都落在 $x y$ 平面内，就无法表示 $(0, 0, 1)$ ；所谓“分解成三个方向”还要检查方向是否能张成整个空间。

线性组合处理空间中的点

已知空间中两点 $A$ 和 $B$ ，从 $A$ 沿 $A B$ 的 $t$ 倍到达的点满足 $P = A + t (B - A) = (1 - t) A + t B .$ 当 $0 \leq t \leq 1$ 时， $P$ 在线段 $A B$ 上； $t = \frac{1}{2}$ 给出中点， $t > 1$ 则越过 $B$ 。以上式中 $A = (1, 2, 0)$ 、 $B = (3, 1, 3)$ 为例，中点是 $(2, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ ，再用两端坐标取平均可核对。

两向量的加法和数乘称为线性运算。下一步是给向量增加长度和角度：向量的内积测量同向程度，向量的外积测量张成的面积；加法与数乘本身还不能定义“垂直”。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§2.1 Vectors in the Plane：向量加法和数乘的几何规则；本文的三维坐标例题独立编写。
MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra：线性组合、基与坐标。
继续阅读：向量空间、基与维数。