列联表与独立性检验

列联表记录两个分类变量同时出现的次数。它与散点图各有用途：散点图保留两项数值的配对位置，列联表保留两个类别的组合人数。独立性检验则把“表中比例不同”与“总体中是否有关联”分开，衡量在独立假设下看到这般或更强差异的证据。

从原始记录到二维表

假设随机抽取 80 人，按甲、乙两组各 40 人记录是否参加某项活动，得到下表。数字是为讲解计算设置的示例，不是实际调查结论。

组别	参加	未参加	合计
甲组	26	14	40
乙组	14	26	40
合计	40	40	80

甲组参加比例 $26 / 40 = 65 %$ ，乙组为 $14 / 40 = 35 %$ ，样本差为 30 个百分点。用行内比例比较，是因为所问的是“在各组人中参加者占多少”；若两组总人数不同，只比较参加人数尤其容易误导。

甲乙两组各四十人的堆叠条形图，甲组参加二十六人乙组参加十四人，两组独立假设下各二十人的界线用虚线标出 — 观察到甲乙两组参加比例分别为 65% 与 35%；虚线是独立假设下的期望人数，不是观察结果。

独立假设给出怎样的期望人数

设原假设 $H_{0}$ 为总体中“组别”与“是否参加”独立。独立意味着各组参加比例相同。用合并样本估计这个共同参加比例为 $40 / 80 = 1 / 2$ ，因此甲组 40 人中期望参加 $40 (1 / 2) = 20$ 人、未参加 20 人；乙组同样各 20 人。一般地，某格的期望频数是 $E_{i j} = \frac{(row i total) (column j total)}{n} .$ 这里每格的 $E_{i j} = 20$ 。把观察频数 $O_{i j}$ 与其比较，用期望值作分母得到 Pearson 统计量： $χ^{2} = \sum_{i, j} \frac{(O_{i j} - E_{i j})^{2}}{E_{i j}} = 4 \frac{(26 - 20)^{2}}{20} = 7.2.$ 四格都偏离 6 人，绝对差相同；平方保证正负偏差不会抵消。该 $2 \times 2$ 表在独立假设下的自由度为 $(2 - 1) (2 - 1) = 1$ 。使用卡方分布近似计算，右尾概率约 $0.0073$ 。若预先规定显著性水平 $0.05$ ，该样本提供反对独立假设的证据。

统计结论的边界

这个 $p$ 值是假定独立成立时得到至少如此极端统计量的概率，不是“独立成立的概率约 0.73%”。两组可能还在年龄等因素上不同；即使有关联，也不能由列联表推断“组别导致参加”。本例四格期望频数都是 20，卡方近似的常用频数条件较为充足；若表格稀疏、期望数过小，应考虑精确方法或重新设计分组。对同一人反复记录等相依观测，也不能直接套用独立样本的检验。

检验回答证据是否足以质疑独立，效应大小另需报告。这里可先给出直观的组间比例差 $65 % - 35 % = 30$ 个百分点。若用 $2 \times 2$ 表的 $ϕ$ 系数， $| ϕ | = \sqrt{χ^{2} / n} = \sqrt{7.2 / 80} = 0.3$ ；它描述本样本关联强度，不替代比例及调查背景。

试算。若只把甲组参加人数 26 抄进表，却忘记同一行的 14 人未参加，先用行、列、总合计检查： $26 + 14 = 40$ ，两列又各为 40。频数表的边际合计是后续期望频数和检验计算的依据。

参考资料

Penn State STAT 200，第 11 课：卡方独立性检验、期望频数与解释。
Penn State STAT 504，第 3 课：二维列联表与分类变量关联。