散点图

散点图（scatter plot）用点的位置同时表示两个数值变量：横坐标记录一个量，纵坐标记录另一个量。每个点来自同一个对象或同一次观测的一对数据。它帮助我们判断两种量是否一起变化、关系是否接近直线，以及有没有偏离主要点群的观测。

一行数据怎样成为一个点

假设要比较两台温度计在相同地点的读数。下面是四个地点的合成教学数据，横轴 $x$ 表示第一台的读数，纵轴 $y$ 表示第二台的读数，单位都是摄氏度。两台仪器的读数必须按地点配对，不能各自排序后重新搭配。

地点编号 $i$	$x_i$（℃）	$y_i$（℃）	图上的点
1	1	2	$(1,2)$
2	2	3	$(2,3)$
3	3	5	$(3,5)$
4	4	4	$(4,4)$

第三行并不是两个点。它表示先沿横轴找到三，再沿纵向找到五，在交会处放一个点 $(3,5)$。其余三行同理。

先把第三行定位到 (3,5)，再看整个点群从左下向右上延伸。虚线表示均值位置。

散点图的横坐标是温度，不是地点编号：换一下数据表的行序，图上的点不应改变。这里没有连接地点一、二、三、四的线，因为地点之间没有需要表达的连续顺序。若横轴改为同一地点的观测时间，并要研究先后变化，则可能更适合折线图。

交换横纵轴会把图沿 $y=x$ 反射，仍然表示同一组配对关系。不过，若要用一个变量预测另一个变量，预测方向就有区别，见最小二乘法。

先看方向，再看形状和分散程度

图中较大的 $x$ 大体对应较大的 $y$，这叫正向关系；若点群从左上向右下延伸，就是负向关系。方向只描述整体变化，不要求任意相邻两点都同升同降。本例从 $(3,5)$ 到 $(4,4)$ 虽向下，整体仍呈正向趋势。

其次要看关系是否接近直线。点围绕一条斜直线分布，与点沿弯曲的 U 形分布，是不同的结构。还要留意同一横坐标附近的纵向分散是否改变、是否分成多个点群。NIST 的散点图指南将这些形状、变异与异常观测作为主要阅读内容。NIST：Scatter Plot

对于两台温度计，还应区分“同步变化”与“读数一致”。假如总有 $y=x+10$，点会精确落在一条上升直线上，但第二台始终比第一台高十度。判断两台读数是否接近，需要同时查看点离 $y=x$ 有多远，不能只看相关程度。

完整算一次 Pearson 相关系数

样本 Pearson 相关系数用一个数概括成对数据的线性关联。对 $n$ 对数值，先求均值 $\overline{x},\overline{y}$，再定义 $$S_{xx}=\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2,S_{yy}=\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2,$$ $$S_{xy}=\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}).$$ 当两个变量都不是常数，即 $S_{xx}>0,S_{yy}>0$ 时， $$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}{S}_{yy}}}.$$ 分子比较两个变量偏离各自均值的方向：同在均值之上或同在均值之下时，乘积为正；分处两侧时为负。分母用两种偏差各自的总体大小作标准化。其单位与分子相同，所以 $r$ 没有单位。NIST：Correlation 的公式与记号

对前面的四行读数， $$\overline{x}=\frac{1+2+3+4}{4}=2.5,\overline{y}=\frac{2+3+5+4}{4}=\mathrm{3.5.}$$ 逐行减去均值并相乘：

$i$	$x_i-\overline{x}$	$y_i-\overline{y}$	两偏差之积	横向偏差平方	纵向偏差平方
1	−1.5	−1.5	2.25	2.25	2.25
2	−0.5	−0.5	0.25	0.25	0.25
3	0.5	1.5	0.75	0.25	2.25
4	1.5	0.5	0.75	2.25	0.25
合计	0	0	4	5	5

于是 $$r=\frac{4}{\sqrt{5\times 5}}=\mathrm{0.8.}$$ 回看第一张图，四个点都位于均值交点的左下或右上方向，因此四个偏差乘积都为正；它们没有落在同一条直线上，相关系数也没有达到一。$0.8$ 是这四对数据的描述，不等于“两台仪器有百分之八十的概率一致”，也没有把摄氏度变成百分比。

为什么结果在负一与一之间

把偏差归一化为 $$u_i=\frac{x_i-\overline{x}}{\sqrt{S_{xx}}},v_i=\frac{y_i-\overline{y}}{\sqrt{S_{yy}}}.$$ 这样 $\sum u_i^2=\sum v_i^2=1$，而 $r=\sum u_i{v}_i$。利用平方和非负， $$0\le \sum (u_i-v_i{)}^2=2-2r,0\le \sum (u_i+v_i{)}^2=2+2r.$$ 第一式给出 $r\le 1$，第二式给出 $r\ge -1$。当 $r=1$ 时，每个 $u_i=v_i$，两组偏差成正比例，所有点落在同一条正斜率直线上；$r=-1$ 则对应负比例。

若一台温度计的四次读数完全相同，其偏差平方和为零，公式分母为零，此时 $r$ 未定义，不能填作零。只给两个横纵值都不同的点时，两点总能确定一条斜直线，因而 $|r|=1$；这也说明极少的点不能证明总体关系牢固。计算描述性的 $r$ 不要求数据服从正态分布；进一步做显著性检验或区间估计，需要另行说明抽样和分布模型，参见统计推断。

零相关仍然可以有确定关系

现在改看五个无量纲点： $$(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4).$$ 它们按 $y=x^2$ 构造。知道横坐标，就能精确算出纵坐标，却没有统一的上升或下降方向。

虚线说明这组数据的构造关系 y=x²；它不是把相邻观测顺序连接起来的折线。

这组数据有 $\overline{x}=0,\overline{y}=2$。偏差乘积的和为 $$S_{xy}=(-2)(4-2)+(-1)(1-2)+0(0-2)+1(1-2)+2(4-2)=0.$$ 同时 $S_{xx}=10$、$S_{yy}=14$，所以 $r=0/\sqrt{140}=0$。左右两侧的线性方向在相加时抵消了，U 形结构却完全保留。零相关排除不了非线性关系。

“不相关”与“独立”的区别还可以精确说明：把这五个点看作各以 $1/5$ 概率发生的结果，定义随机变量 $X$ 和 $Y=X^2$。则 $$P(Y=0)=\frac{1}{5},P(Y=0\mid X=0)=1.$$ 知道 $X=0$ 后，$Y$ 的概率改变了，因此两者不独立；这个明确给定的概率模型又有协方差为零。一般散点样本里算出 $r=0$，更不能直接据此断言总体独立。

多一个点，相关系数会怎样改变

回到温度计例子，假设多记录了一对 $(5,0)$。这个点偏离原先的右上趋势，用不同形状标出，方便比较。

坐标尺度与第一张图一致。新增点既偏离原有点群，也改变了两组均值。

现在均值变成 $\overline{x}=3,\overline{y}=2.8$。必须用新均值重新计算全部偏差，而不是只在旧分子后面添一项。计算得到 $$S_{xx}=10,S_{yy}=14.8,S_{xy}=-3,$$ $$r=\frac{-3}{\sqrt{148}}\approx -\mathrm{0.2466.}$$ 只新增一个点，描述性相关系数就从正变负。这不是图“失效”，而是图提醒我们不要让一个数字遮住数据结构。

下一步应核对该行的地点配对、仪器状态、录入与测量条件。若是录入错误，应根据原始记录更正；若是真实观测，则要解释它为何不同，并考虑分组或模型是否遗漏了条件。不能因为删除后相关系数更漂亮，就把它排除。还应同时报告采用哪些数据，避免让读者无法复算。

重合的点与真正的记录数

若七条记录的坐标依次为 $(1,1)$ 四次、$(2,2)$ 两次、$(3,2)$ 一次，直接画普通散点，只能看见三个不同位置。下图左侧不是“只有三条数据”；它把四个完全重合的 $(1,1)$ 画在同一个位置。右侧把重合次数写在点内，且让圆的面积随次数增加，所以四次的位置大约是一次位置的四倍面积，而不是四倍半径。这组数也是合成教学数据，与前面的温度计读数案例分开。

左图三个可见点不等于三条记录。右图让点的面积与重复次数成比例，并直接标出次数；两图仍使用原来的精确坐标。

数据量不大时，可以直接标次数或把同一位置的点堆开；数据量较大时，可用透明度、二维分箱或按组分面显示。二维分箱把平面分格后计数，还须选择两轴组界；它解决遮盖问题的同时失去格内精确位置。轻微抖动只改变显示位置，不能用抖动后读到的小数坐标重新计算相关系数。无论采用哪种画法，都应说明总记录数与处理方式，尤其在 $(1,1)$ 这样的重复位置可能代表很多人时。

图中还有什么信息，图外还缺什么

散点图显示的是联合变化。两个温度计可能都受到同一个地点温度影响，不能因为第一台读数大时第二台也大，就说“第一台的读数使第二台升高”。因果判断需要测量机制、研究设计与其他证据；把某个量放在横轴不会自动赋予它原因的地位。NIST：关联不能单凭散点图证明因果

比较两张散点图时，要核对坐标范围和单位。改变图框宽高会改变肉眼看到的倾斜程度，却不改变原始数据的 $r$。与条形图靠长度表示数量不同，散点图依靠两个坐标定位，坐标轴可根据问题选择合适范围，但必须清楚标出刻度。若只想了解单个变量的分布，应另看直方图或箱线图；若关心按时间发展的轨迹，可与折线图配合。

参考资料

• NIST/SEMATECH e-Handbook，1.3.3.26 Scatter Plot：二维配对、关系形状、异常点与关联解释。
• NIST Dataplot，Correlation：Pearson 相关系数的偏差和公式。
• 英国国家统计局，Axes and gridlines：坐标范围与跨图比较。
• ggplot2：重合点计数，同一坐标位置的观察次数与点面积。
• 相关：统计图、统计图形语法、分面图、概率、统计推断、最小二乘法。