数值积分

数值积分（numerical integration）用有限个函数值或观测值近似计算定积分。最常见的思路是把曲线下的区域分成小段，用矩形、梯形或容易积分的多项式代替，再将各段结果相加。

只用几个数，怎样估计曲线下的面积

考虑 $I={\int }_0^1{x}^{2}dx$。它的精确值为三分之一，适合用来检查近似方法。先把区间分成 $[0,1/2]$ 和 $[1/2,1]$ 两段，每段宽为 $h=1/2$。

如果每段用中点的函数值作矩形高度，就在 $1/4$ 和 $3/4$ 处采样： $$M_2=\frac{1}{2}[{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2]=\frac{1}{2}(\frac{1}{16}+\frac{9}{16})=\frac{5}{16}.$$ 这里字母 $M$ 表示中点公式，下标二表示分成两段。结果约为 $0.3125$，比三分之一略小。

另一种方法连接各段两个端点，形成梯形。两个梯形面积分别为 $\frac{1}{2}(0+1/4)/2$ 和 $\frac{1}{2}(1/4+1)/2$，相加得 $$T_2=\frac{1}{2}[\frac{0+1}{2}+\frac{1}{4}]=\frac{3}{8}.$$ 结果为 $0.375$，比真值略大。函数 $x^2$ 向上弯，端点连线在曲线上方，这解释了梯形高估的方向。

对同一积分使用不同局部近似。三幅图横纵坐标相同，面积可以直接比较。

左图每段矩形的顶边经过曲线中点；中图每条直线连接曲线端点；右图使用通过零、二分之一、一这三个位置的抛物线，它正好就是原函数。右图对应的辛普森公式将在下面推出。

从两小段写成一般公式

将 $[a,b]$ 等分为 $n$ 段，令 $h=(b-a)/n$，节点为 $x_i=a+ih$。复合中点公式为 $$M_n=h\sum _{i=0}^{n-1}f(a+(i+\frac{1}{2})h).$$ 每项是一个中点矩形的面积。复合梯形公式为 $$T_n=h[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i)].$$ 内部节点是左右两个梯形共用的端点，各贡献一半，合计权重一；最外两端只有一个梯形，因此权重为一半。

若被积函数表示流量，单位为升每秒，那么 $h$ 以秒计，乘积单位是升，得到总流量。函数为负时也保留符号，例如速度积分表示净位移，而非全部路程。求积规则计算的是这种带符号的累积量。

误差为什么与步长平方有关

在一小段 $[u,v]$ 内，以直线 $L(x)$ 连接两个端点的函数值。如果 $f$ 二次连续可微，线性插值的余项为 $$f(x)-L(x)=\frac{f^{″}({\xi }_x)}{2}(x-u)(x-v),$$ 其中 ${\xi }_x\in [u,v]$。设整个积分区间上 $|f^{″}|\le M_2$，对两者之差积分并取上界： $$|{\int }_u^v(f-L)dx|\le \frac{M_2}{2}{\int }_u^v(x-u)(v-x)dx.$$ 令段长为 $h=v-u$，再令 $t=x-u$，右侧的小积分成为 $${\int }_0^{h}t(h-t)dt=\frac{h^3}{2}-\frac{h^3}{3}=\frac{h^3}{6}.$$ 所以每段误差不超过 $M_2{h}^3/12$。一共有 $n=(b-a)/h$ 段，将这些上界相加，得到 $$|I-T_n|\le \frac{(b-a)M_2{h}^2}{12}.$$ 局部误差是三次方，累加的段数与 $1/h$ 成正比，因此总误差成为二次方。

中点公式也可用泰勒展开估计。以中点为中心，线性项在左右两侧积分相消；二阶余项的绝对值不超过 $M_2{t}^2/2$。积分 $t\in [-h/2,h/2]$ 后，每段上界为 $M_2{h}^3/24$，于是 $$|I-M_n|\le \frac{(b-a)M_2{h}^2}{24}.$$ 开头例子中 $f^{″}=2$、$h=1/2$，两个界分别为 $1/24$ 与 $1/48$，恰好等于实际误差。OpenStax：数值积分与误差界

辛普森的一、四、一权重从何而来

在对称区间 $[-h,h]$ 上，用二次多项式 $p(t)=A+Bt+C{t}^2$ 近似函数。它的精确积分是 $${\int }_{-h}^{h}p(t)dt=2hA+\frac{2}{3}{h}^{3}C,$$ 因为奇函数项 $Bt$ 的积分为零。另一方面，三个节点的加权和满足 $$\frac{h}{3}[p(-h)+4p(0)+p(h)]=\frac{h}{3}[6A+2C{h}^2]=2hA+\frac{2}{3}{h}^{3}C.$$ 因此权重一、四、一准确积分任意二次多项式。对三次项 $D{t}^3$，积分与对称节点的加权和也都为零，所以公式还能准确处理三次多项式。

将每两小段作为一组，段数 $n$ 取正偶数，就得到复合辛普森公式： $$S_n=\frac{h}{3}[f(x_0)+f(x_n)+4\sum _{j=0}^{n/2-1}f(x_{2j+1})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})].$$ 每组中心的权重为四，两组共用端点的权重合为二，最外端点权重为一。对于 $x^2$ 和两小段，结果为 $$S_2=\frac{1}{6}[0+4\times \frac{1}{4}+1]=\frac{1}{3}.$$ 这就是图中右侧精确贴合的原因。

在四次连续可微且 $|f^{(4)}|\le M_4$ 时，辛普森的误差保证为 $|I-S_n|\le (b-a)M_4{h}^4/180$。这个标准余项界需要四阶光滑性，证明与完整条件见上述教材。它比中点、梯形使用了更强的函数信息。

计算对数积分，并提前确定需要的段数

考虑 $I={\int }_1^2{x}^{-1}dx=\log 2$。取四段，$h=1/4$，节点 $1,5/4,3/2,7/4,2$ 的函数值分别为 $1,4/5,2/3,4/7,1/2$。按辛普森权重相加： $$S_4=\frac{1}{12}[1+4\cdot \frac{4}{5}+2\cdot \frac{2}{3}+4\cdot \frac{4}{7}+\frac{1}{2}]=\frac{1747}{2520}\approx \mathrm{0.6932539683.}$$ 四阶导数为 $24/x^5$，区间上不超过二十四，所以 $$|I-S_4|\le \frac{24}{180\cdot 4^4}=\frac{1}{1920}\approx \mathrm{0.00052083.}$$ 与 $\log 2\approx 0.6931471806$ 比较，实际误差约为 $0.00010679$，确实在保证范围内。

若事先要求误差不超过百万分之一，则应选偶数 $n$ 使 $24/(180n^4)\le 10^{-6}$。取 $n=20$ 即可，误差界约为 $8.33\times 10^{-7}$。这种精度规划使用已知导数界，不需要先知道准确积分值。

加密哪些地方，以及何时停下

均匀划分在每处投入相同采样量。若函数只在局部变化剧烈，可以只细分那些区间，这称为自适应求积。常见做法比较一个辛普森面板的粗结果 $S_h$ 与细分后的 $S_{h/2}$。如果已进入误差主要为 $C{h}^4$ 的范围，细误差约为粗误差的十六分之一，两结果的差约为细误差的十五倍，所以用 $$|S_{h/2}-S_h|/15$$ 估计细结果误差。它是依赖这一误差模型的估计，强度不同于已知导数界给出的保证。

程序要把总容差分配到各子区间，并累加误差估计。如果达到最大深度、求值次数或浮点分辨率，应返回停止状态；积分接近零时还需要正的绝对容差。梯形网格减半时可以复用旧节点，只补新中点，减少函数求值成本。FNC：Numerical integration

曲线有尖点，或者只有观测表格时

对 $|x|$ 在跨越零的区间积分，先在零处分段，每段都是线性的，梯形公式便精确。对 $1/\sqrt{x}$ 在零附近积分，不能直接在零采样；可作 $x=t^2$ 代换，把 $x^{-1/2}dx$ 变成 $2dt$，先消除端点奇性再求积。

规则采样还可能看不见振荡。例如在 $[0,1]$ 的 $n$ 等分端点采样 ${\sin }^2(\pi nx)$，每个值都是零，梯形结果为零，而真实积分为二分之一。这是特意与网格对齐的反例，说明有限样本在没有更多函数信息时不能保证捕捉所有变化。

若输入是不等时刻 $t_i$ 的观测值 $y_i$，分段线性插值给出 $$Q=\sum _i\frac{t_{i+1}-t_i}{2}(y_i+y_{i+1}).$$ 每段必须用自己的时间宽度。插值生成的新点不等于新增真实观测。若各样本误差绝对值不超过 $\eta$，正权重求积的数据误差至多为 $\eta \sum _i{w}_i=(b-a)\eta$，这部分不会因插值加密而消失。

能够自由选择节点时，还可使用高斯求积等方法提高多项式精确次数；只能使用固定观测表时，选择受到已有数据限制。函数结构、节点来源和误差目标共同决定适合的公式。

历史

求面积的近似方法早于微积分，插值与微积分的发展进一步给出了系统的求积公式。十八世纪的托马斯·辛普森与一、四、一规则的传播相关，这一规则本身有更早的先例。MacTutor：Thomas Simpson 现代数值积分在这些公式上进一步发展了节点选择、自适应细分和浮点误差控制。

参考资料与知识联系

• OpenStax，Calculus Volume 2，3.6 Numerical Integration：中点、梯形与辛普森误差条件。
• Tobin A. Driscoll、Richard J. Braun，Fundamentals of Numerical Computation，Numerical integration：数值求积与误差估计背景。
• MacTutor，University of St Andrews，Thomas Simpson：命名与历史归属。
• 前置：积分、导数；相关：数学建模、量纲分析、概率。