平衡点与稳定性

平衡点（equilibrium）是系统在既定规则下可以一直保持的状态。稳定性关心另一个问题：如果起点稍有偏差，后来的状态还能否一直留在平衡附近？保持接近与最终回到平衡是两件事，分别对应稳定与渐近稳定。

例如把某个无量纲读数调到目标 3，设偏差为 $e = x - 3$ 。连续反馈 $x^{'} = - 2 (x - 3)$ 会让偏差按 $e (t) = e (0) e^{- 2 t}$ 衰减；逐次反馈 $x_{n + 1} = 3 - 0.6 (x_{n} - 3)$ 则给出 $e_{n} = (- 0.6)^{n} e_{0}$ 。两种机制都会回到 3，但前者从一侧靠近，后者反复跨过目标。下面用这组教学规则分清“平衡”“稳定”和“靠近”的含义。

先说明状态怎样变化

在自治微分方程 $x^{'} = f (x)$ 中，平衡点 $x_{*}$ 满足 $f (x_{*}) = 0$ ，因此常值函数 $x (t) = x_{*}$ 是解。若状态有多个分量，这里的零是零向量，要求每个分量的变化率都为零。

在差分方程模型 $x_{n + 1} = F (x_{n})$ 中，平衡点满足 $F (x_{*}) = x_{*}$ ，也叫不动点。不能把它误写成 $F (x_{*}) = 0$ ：更新函数给的是下一期状态，不是瞬时变化率。本例分别解 $- 2 (x_{*} - 3) = 0$ 与 $3 - 0.6 (x_{*} - 3) = x_{*}$ ，都得到 3。

以下讨论时间向前的演化。连续系统假定右端在所讨论邻域局部 Lipschitz 连续，使初值问题局部存在且唯一；使用导数判据时再假定连续可微。状态空间也要说明，例如一个数量模型通常只取非负数。若只允许某个子集中的初值，“附近”与稳定性就都相对于这个状态空间理解。

稳定的量词：先定容许偏差，再选初值精度

设想仪器允许读数偏离目标不超过 $ε$ 。稳定并不是说任意初值都合格，而是说总能把起始误差控制得足够小，使以后始终合格。对于连续系统，Lyapunov 稳定的定义是：对每个 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，只要

$‖ x (0) - x_{*} ‖ < δ,$

相应解在所有 $t \geq 0$ 上存在，并满足

$‖ x (t) - x_{*} ‖ < ε (t \geq 0) .$

$‖ \cdot ‖$ 表示状态的距离；一维时就是绝对值。离散系统把 $t \geq 0$ 换成所有非负整数 $n$ ，定义相同。 $δ$ 可以依赖容许误差 $ε$ ，却不能在看到某一条轨迹跑远以后再改变，也不能随着时间无限缩小。

本例有 $| e (t) | \leq | e (0) |$ 和 $| e_{n} | \leq | e_{0} |$ 。因此给定任何 $ε$ ，取 $δ = ε$ 就足够。这是对所有未来时刻的证明，比画到某个时刻后觉得曲线“很平稳”更强。MIT，Russ Tedrake：Lyapunov Analysis

渐近稳定还要求偏差消失

若平衡点稳定，并且存在某个邻域，使其中每个初值的解都满足 $x (t) \to x_{*}$ （或 $x_{n} \to x_{*}$ ），就称它渐近稳定。趋近的邻域不必是整个状态空间。让解最终趋于该平衡的所有初值组成其吸引域；确定吸引域通常比确定局部稳定性更困难。

从 $x (0) = 4$ 出发，连续解为 $x (t) = 3 + e^{- 2 t}$ ，在 $t = 1$ 时约为 3.1353。离散解从 $x_{0} = 4$ 出发，前几项为

$4, 2.4, 3.36, 2.784, 3.1296.$

下图把目标线画在两种演化的中间。观察金色离散点：跨过目标不代表不稳定，关键是跨越幅度是否缩小。图中的连续曲线和离散点只作数学性质对照，两套时间单位没有被当成同一个实际装置的标定。

连续曲线三加指数负二t从四单侧趋向三；离散点四、二点四、三点三六、二点七八四交替趋向三。 — 同侧趋近与交替趋近都可以渐近稳定。

本例还有更强的定量性质：误差受指数界控制。连续情形可写成 $‖ e (t) ‖ \leq C e^{- α t} ‖ e (0) ‖$ ，其中常数 $C \geq 1, α > 0$ ；离散情形为 $‖ e_{n} ‖ \leq C q^{n} ‖ e_{0} ‖$ ， $0 < q < 1$ 。这叫指数稳定。它给出接近速度，但一般渐近稳定不必如此快。

稳定而不吸引：一直绕着平衡转

考虑平面系统

$u^{'} = - v, v^{'} = u .$

原点是平衡。计算距离平方的导数：

$\frac{d}{d t} (u^{2} + v^{2}) = 2 u (- v) + 2 v (u) = 0.$

因此 $u (t)^{2} + v (t)^{2} = u (0)^{2} + v (0)^{2}$ 。从半径很小的圆上出发，就一直在同一个圆上转动，取 $δ = ε$ 可证明原点稳定；只要初始半径不为零，距离就永不变成零，因而不渐近稳定。

下图在同一相平面上画出几个半径。时间增加时状态沿圆周移动，而不是向圆心移动。圆心静止与邻近轨迹旋转可以同时发生。

相平面中三个以原点为中心的圆，箭头逆时针，轨迹半径保持不变，原点稳定但不吸引。 — 距离不放大足以支持稳定；距离不缩小又排除了渐近稳定。

离散对应例子是 $e_{n + 1} = - e_{n}$ ：非零误差在 $e_{0}$ 与 $- e_{0}$ 之间交替。它有界且稳定，却不收敛。是否“振荡”本身并不能决定稳定性。

一维连续系统怎样用符号判断

对 $x^{'} = f (x)$ ，若平衡左侧 $f (x) > 0$ 、右侧 $f (x) < 0$ ，两侧箭头都指向平衡。局部唯一性使轨迹不能穿过平衡；从附近出发的解单调且被平衡挡住，因此有极限。若邻域没有其他零点，该极限只能是此平衡：假如停在变化率不为零的位置，变化就不可能消失。这给出一维渐近稳定的相线论证。

连续可微时， $f^{'} (x_{*}) < 0$ 保证足够近处有上述符号；若 $f^{'} (x_{*}) > 0$ ，箭头反过来，非零小扰动会离开一个固定邻域，平衡不稳定。更精确地，在负导数情形可选 $c > 0$ ，使

$(x - x_{*}) f (x) \leq - c (x - x_{*})^{2} .$

于是 $(e^{2})^{'} = 2 e f (x_{*} + e) \leq - 2 c e^{2}$ ，积分得 $| e (t) | \leq e^{- c t} | e (0) |$ 。这说明负导数不仅给出方向，还给出局部指数衰减。

导数等于零时要回到原方程。例如 $x^{'} = - x^{3}$ 与 $x^{'} = x^{3}$ 在零处的导数都为零。前者的解为

$x (t) = \frac{x_{0}}{\sqrt{1 + 2 x_{0}^{2} t}},$

其绝对值下降并趋于零，但通常只有幂次衰减；后者从任意非零小初值出发，绝对值都会增大。相同的一阶导数未能保留决定方向的三次项。

状态空间改变，单侧结论也会改变

对 $x^{'} = - x^{2}$ ，零右侧的轨迹向零移动，左侧的轨迹向更负处移动。非零解为 $x (t) = x_{0} / (1 + x_{0} t)$ ： $x_{0} > 0$ 时趋于零， $x_{0} < 0$ 时则远离零，并在有限时间发散。

相线对比负三次方两侧指向零、正三次方两侧背离零、负平方两侧均向左；最后一种在实线中不稳定，在非负半轴上吸引。 — 箭头来自右端符号；同一个零点在不同允许初值集合中可能有不同稳定性结论。

所以在整个实数线上，零是不稳定的；若模型只允许 $x \geq 0$ ，则它相对于这个不变半轴渐近稳定。称“一侧稳定”时，应说明究竟允许从哪一侧扰动。

多变量与离散时间的判据不要混用

多变量连续系统在平衡处的雅可比矩阵为 $A$ 。若全部特征值实部为负，则平衡局部渐近稳定；若至少一个特征值实部为正，则不稳定。没有正实部而出现零实部时，一阶信息一般不能裁决。

离散映射的局部扰动满足 $e_{n + 1} \approx A e_{n}$ 。对应条件是全部特征值的绝对值小于一；只要有一个绝对值大于一，平衡就不稳定。单位圆上的特征值需要进一步分析。例如连续系数 −2 代表衰减，离散乘数 −2 却使误差每步放大两倍。差异来自连续的 $e^{λ t}$ 与离散的 $λ^{n}$ 。

稳定性还不等于模型正确。它只回答某个方程在扰动下的数学性质；参数是否适合真实系统、输入是否变化，以及数值算法是否引入假振荡，需要另行检验。

参考资料与继续阅读

Russ Tedrake，Underactuated Robotics：Lyapunov Analysis，MIT。稳定、渐近稳定、Lyapunov 函数与局部/全局区别。
Jiří Lebl，Notes on Diffy Qs：Stability and classification of isolated critical points。连续非线性系统的局部判据及中心情形的限制。
Marcel Oliver，Difference Equations，§§3–4、9。离散不动点、周期点与线性化稳定性。
线性化与雅可比矩阵解释多分量扰动；分岔研究参数变化怎样改变稳定性；微分方程数值解区分模型本身的稳定与算法的稳定。