线性化与雅可比矩阵

线性化（linearization）用某一点附近的一次变化近似原来的非线性关系。一个变量的导数给出切线斜率；多个输入、多个输出同时变化时，各个偏导数排成的雅可比矩阵（Jacobian matrix）把输入的小扰动映为输出的一次变化。在动力系统中，它能帮助判断平衡附近的运动，同时也有明确的失效边界。

考虑两个经过无量纲化的反馈读数 $x,y$，目标为 $(1,2)$。令偏差 $u=x-1,v=y-2$，用下面的合成规则描述小范围调节：

$$u^{\prime }=-2u+v-u^2,v^{\prime }=u-2v.$$

自身偏差引起负反馈，另一个读数带来耦合；第一条还包含二次修正。这里的参数是教学设定，不表示某类真实设备已经遵循此规律。我们要回答：两个读数都接近目标时，是怎样共同回到目标的？忽略二次项究竟忽略了多少？

从两个方向的扰动建立矩阵

先在 $(u,v)=(0,0)$ 只改变 $u$。若把它改成很小的 $h$，变化率从 $(0,0)$ 变成 $(-2h-h^2,h)$；除以 $h$ 并令它趋于零，得到第一列 $(-2,1{)}^{𝖳}$。它回答“第一个状态变化一点，两个变化率各变多少”。

再只改变 $v$，变化率变成 $(h,-2h)$，得到第二列 $(1,-2{)}^{𝖳}$。于是一次近似为

$$\left(\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right).$$

下图把列向量分别画出来，再相加。取 $(u,v)=(0.1,0.2)$，第一列贡献 $(-0.2,0.1)$，第二列贡献 $(0.2,-0.4)$，相加为 $(0,-0.3)$。原方程给出 $(-0.01,-0.3)$，差异恰好是被忽略的 $(-u^2,0)$。

矩阵的每一列描述一种独立输入方向；共同扰动的一次影响由各列贡献相加。

注意矩阵输出的是变化率，并不是下一时刻的偏差。若要近似推进一小段时间 $h$，还需写成 $z(t+h)\approx z(t)+hAz(t)$，其中 $z=(u,v{)}^{𝖳}$。

雅可比矩阵的定义与余项

对可微函数 $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^k$，第 $i$ 个输出记为 $f_i$，第 $j$ 个输入记为 $x_j$。雅可比矩阵在点 $x_{\ast }$ 的第 $(i,j)$ 个元素是

$$J_{ij}(x_{\ast })=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_{\ast }).$$

行对应输出，列对应输入，因此矩阵大小为 $k\times m$。可微的精确含义是存在余项 $R(h)$，使

$$f(x_{\ast }+h)=f(x_{\ast })+J(x_{\ast })h+R(h),\frac{\Vert R(h)\Vert }{\Vert h\Vert }⟶0(h\to 0).$$

这不是说余项等于零，而是说扰动缩小时，余项比扰动本身更快缩小。若二阶导数在小邻域有界，通常还能估计 $\Vert R(h)\Vert \le C\Vert h{\Vert }^2$。只有偏导数存在不足以自动保证这样的多变量线性近似；连续偏导数是常用的充分条件。Lebl：Linearization, critical points, and equilibria

动力系统 $x^{\prime }=f(x)$ 在平衡点满足 $f(x_{\ast })=0$。令 $z=x-x_{\ast }$，便有 $z^{\prime }=J(x_{\ast })z+R(z)$；去掉余项得到线性化系统 $z^{\prime }=Az$。在不是平衡的位置展开时，常数项一般不为零，不能删掉后仍声称是在研究原点平衡。

具体算出快慢两个方向

本例的一般雅可比矩阵为

$$J(u,v)=\left(\begin{array}{cc}-2-2u& 1\\ 1& -2\end{array}\right),A=J(0,0)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right).$$

寻找经矩阵作用只改变长度、不改变直线方向的向量，就是求特征向量。先解

$$det(A-\lambda I)=(-2-\lambda {)}^2-1=(\lambda +1)(\lambda +3)=0.$$

得到 ${\lambda }_1=-1$ 与 ${\lambda }_2=-3$。直接乘法核验

$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=-3\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

所以同向偏差 $(1,1)$ 按 $e^{-t}$ 衰减，反向偏差 $(1,-1)$ 按 $e^{-3t}$ 衰减，后者更快。初值 $z(0)=(0.3,0.1)$ 分解为

$$\left(\begin{array}{c}0.3\\ 0.1\end{array}\right)=0.2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+0.1\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

因此线性化的精确解为

$$u_L(t)=0.2e^{-t}+0.1e^{-3t},v_L(t)=0.2e^{-t}-0.1e^{-3t}.$$

在 $t=1$ 时，约为 $(0.07855,0.06860)$。图中早期反向模式仍有可见贡献，后来主要剩下沿 $u=v$ 的较慢模式。这里“精确”只指线性化方程的解，不是原非线性方程的精确解。

把耦合变量拆成特征方向，可以看出相同系统里不同的时间尺度。

近似误差怎样随邻域缩小

本例不必借助抽象定理才能写出余项：$R(u,v)=(-u^2,0)$，所以

$$\Vert R(u,v)\Vert =u^2\le u^2+v^2=\Vert z{\Vert }^2.$$

在半径 $\epsilon$ 的邻域内，有 $\Vert R(z)\Vert \le \epsilon \Vert z\Vert$。把邻域半径缩小十倍，一阶相对误差的这个上界也缩小十倍。

具体地，$z=(0.4,0.2)$ 时线性变化率为 $(-0.6,0)$，原变化率为 $(-0.76,0)$，两者差 0.16；缩小为 $(0.04,0.02)$ 后，差变为 0.0016，而线性变化率大小为 0.06。余项缩小一百倍，一次项只缩小十倍。

下图以相同初始方向画出原方程的数值轨迹与线性化解析轨迹，并把不同初始幅度的纵轴按幅度归一。这样比较的是形状误差；若只把小轨迹画得更小，肉眼更难看出是否真的改善。原方程用四阶 Runge–Kutta 法计算，并用步长减半核对图中精度。

线性化改善的是小邻域中的近似；两幅图使用相同的归一化坐标。

一次变化率近似不等于任意长时间都具有同样小的解误差。误差还会沿动力系统积累或放大；离开所研究邻域后，原先的估计也不能继续套用。

从线性化判断原系统稳定，需要哪些条件

若 $f$ 在平衡附近连续可微，且 $A=J(x_{\ast })$ 的所有特征值实部严格为负，那么原非线性平衡局部渐近稳定；若有特征值实部严格为正，则不稳定。本例特征值 −1、−3 都为负，因此原点局部渐近稳定。

本例还可以直接给出一个局部证明，说明二次项没有偷偷改变结论。令 $V=(u^2+v^2)/2$，沿原系统求导：

$$V^{\prime }=-2u^2+2uv-2v^2-u^3.$$

由 $2uv\le u^2+v^2$，以及 $|u|\le 1/2$ 时 $|u{|}^3\le u^2/2$，得到

$$V^{\prime }\le -\frac{1}{2}{u}^2-v^2\le -V.$$

若初始距离小于 1/2，则 $V$ 在这个球内下降，解不会从边界逃出去；于是估计可以一直使用，$V(t)\le V(0)e^{-t}$。这给出了局部吸引与稳定的独立核对。Tedrake：局部 Lyapunov 分析

“局部”不可省略：本例完整多项式系统还有平衡 $(u,v)=(-1.5,-0.75)$。在该处雅可比行列式为 −3，两个特征值异号，是鞍点。只在原点算一次矩阵，无法据此宣称整个平面都会流向原点。

零实部与离散迭代的边界

若所有特征值实部非正但至少一个为零，线性化可能遗漏决定性的项。最简单的对照是 $x^{\prime }=-x^3$ 与 $x^{\prime }=x^3$：零处雅可比都是零，前者渐近稳定，后者不稳定。平面中纯虚特征值也不自动意味着原系统有闭轨道；中心、向内螺旋和向外螺旋可以具有同一线性部分，须分析高阶项或其他不变量。Lebl：不能由线性化判定的中心情形

对离散系统 $x_{n+1}=F(x_n)$，同样减去不动点并展开，得到 $e_{n+1}=DF(x_{\ast })e_n+R(e_n)$。判据改成特征值模小于一，而不是实部为负。若对本例线性系统用欧拉法，更新矩阵为 $I+hA$，其两个特征值为 $1-h$、$1-3h$。要求二者模都小于一，得到 $0<h<2/3$。因此连续系统稳定并不能替代数值步长的稳定性检查。

参考资料与继续阅读

• Jiří Lebl，Notes on Diffy Qs，§8.1：雅可比矩阵、平移与线性化。
• Jiří Lebl，同书 §8.2：局部稳定性及边界情形。
• Russ Tedrake，Underactuated Robotics：Lyapunov Analysis，MIT。能量型函数与局部稳定估计。
• 先修可见矩阵、导数与线性代数；平衡点与稳定性给出定义，相平面帮助解释轨迹形状，微分方程数值解讨论计算误差。