偏微分方程

偏微分方程（partial differential equation，PDE）是含有未知多元函数及其偏导数的方程。它适合描述同一时刻各处状态不同、同一地点又随时间变化的对象，例如杆的温度、弦的位移和公路上的车辆密度。求解的对象通常是一整个函数，而不是一个数。

同一团染料，两种观察办法

设一条理想直管内的液体以恒定速度 $v = 0.5 m / s$ 向右流动。忽略扩散、反应和沿管截面的差异，令 $u (x, t)$ 表示位置 $x$ 、时刻 $t$ 的染料质量浓度，单位为 $g / m^{3}$ 。以下数值是为说明模型设计的教学数据。

起初浓度团的中心在原点，分布为 $u (x, 0) = f (x), f (x) = 2 \exp [- {(\frac{x}{0.2 m})}^{2}] g / m^{3} .$ 在无限长管道模型中，染料随液体平移。经过 $t$ 秒，原来在 $x - v t$ 的液体到达 $x$ ，所以 $u (x, t) = f (x - v t) .$ 浓度最高处满足 $x - v t = 0$ ，每秒向右移动半米，峰值始终为2。指数中的长度除以长度是无量纲数。

浓度团在零一二秒分别以零半米一米为中心，三条曲线具有相同形状和峰值 — 横轴是位置；每条曲线是一张时刻固定的空间快照。沿箭头比较三个峰的位置。

若把探头固定在 $x = 1 m$ ，记录的是另一个单变量函数： $u (1, t) = 2 \exp [- (5 - 2.5 t)^{2}],$ 这里 $t$ 取以秒表示的数值，输出以 $g / m^{3}$ 表示。两秒时峰经过探头；在1.6秒和2.4秒，读数同为 $2 / e \approx 0.7358$ 。这条先升后降的曲线，不表示染料总量先产生又消失，只表示浓度团经过一个固定位置。

一米处的浓度时间曲线在两秒达到二，时间一点六和二点四秒读数均为二除以e — 这次横轴是时间，不能把它与上一图的位置轴混读。

偏导数固定了哪一个变量

固定位置只改变时间，得到 $u_{t} (x, t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{u (x, t + Δ t) - u (x, t)}{Δ t};$ 它描述固定探头读数的变化率，单位为 $g / (m^{3} s)$ 。固定时刻比较相邻位置，得到 $u_{x}$ ，单位为 $g / m^{4}$ 。

若探头自身沿路径 $x = x (t)$ 移动，读数的全导数还包含位置改变的影响。链式法则给出 $\frac{d}{d t} u (x (t), t) = u_{t} + x^{'} (t) u_{x} .$ 随流体一起移动时 $x^{'} (t) = v$ ，本模型假设该团液体的浓度不变，因此右边为零： $u_{t} + v u_{x} = 0.$ 这就是常速输运方程。直接对 $f (x - v t)$ 求导也能核验： $u_{t} = - v f^{'} (x - v t)$ 、 $u_{x} = f^{'} (x - v t)$ ，两项恰好相消。两项单位一致，也说明速度系数不能随意省略。

一般形式的特征线方法，把 PDE 沿适当路径改写为常微分方程；上述路径是其中最简单的例子。Victor Ivrii：一阶偏微分方程

从一个小路段的收支得到局部方程

同一方程也能由守恒推得。设截面积为常数 $A$ ，任取固定区间 $[a, b]$ 。其中的染料质量为 $M (t) = A \int_{a}^{b} u (x, t) d x .$ 单位时间进入左端的质量为 $A v u (a, t)$ ，离开右端的为 $A v u (b, t)$ 。没有内部产生或损失时， $\frac{d M}{d t} = A v u (a, t) - A v u (b, t) .$ 假设函数足够光滑，交换时间微分与积分，再用微积分基本定理，得到 $A \int_{a}^{b} [u_{t} + (v u)_{x}] d x = 0.$ 这对每个小区间都成立；若连续的被积函数在某点为正，它在该点附近一段也为正，积分就不会是零。因此 $u_{t} + (v u)_{x} = 0.$ 常速时才进一步变为 $u_{t} + v u_{x} = 0$ 。若速度随位置变化，展开会多出 $v_{x} u$ ；在一般流量模型中漏掉这一项，就会破坏刚才的收支。

这里用了两类不同信息：质量收支是守恒要求，通量等于 $v u$ 是针对所建模型的运输关系。热方程采用与温度梯度有关的热通量，交通流模型采用随密度变化的车辆通量；换了通量关系，方程的行为也会改变。

初始条件是一条分布，边界条件是入口的记录

只写 $u_{t} + v u_{x} = 0$ 没有选出唯一解。任意可微函数 $f$ 的平移都满足它。初始条件 $u (x, 0) = f (x)$ 指定零时刻各位置的状态，因此是一整个函数。

再把管道截成 $0 < x < L$ ，只知道初始管内有什么仍不够：后来有新液体从左端流入。设入口浓度记录为 $u (0, t) = g (t)$ 。从待求点 $(x, t)$ 沿直线 $x - v t = 常数$ 往回走，有两种情形：

位置时间图中分界线x等于vt将区域分为初始分布决定和左端入口决定，回溯箭头分别到达时间零或位置零 — 从图中两点沿特征线回溯，先碰到底边还是左边，就决定使用f还是g。

若 $x \geq v t$ ，回到初始线时位置为 $x - v t$ ，取 $f (x - v t)$ 。若 $x < v t$ ，先碰到入口，入口时刻由 $x = v (t - τ)$ 得 $τ = t - x / v$ 。所以 $u (x, t) = {\begin{matrix} f (x - v t), & x \geq v t, \\ g (t - x / v), & x < v t . \end{matrix}$ 例如 $v = 0.5 m / s$ ，在 $x = 0.75 m$ 、 $t = 2 s$ 处，液体来自0.5秒时的入口，读数是 $g (0.5)$ ，不是初始剖面上某个负位置的数值。

若要求解在角点连续，必须有 $f (0) = g (0)$ ；要在角点也有与方程兼容的一阶导数，还需 $g^{'} (0) = - v f^{'} (0)$ 。例如另取初始全零、入口恒为一，角点条件便不连续，可以研究带前沿的分段解，却不能声称它是处处连续的经典解。

由于 $v > 0$ ，右端是信息流出的边界。右端值已由内部输运决定，额外强行指定任意右端浓度，可能与它冲突。需要多少边界数据、在哪一端给，取决于方程的信息传播方式。初值问题、边值问题和初边值问题的区分见 Ivrii：Initial and Boundary Value Problems。

阶数、线性与解的含义

方程中出现的最高偏导阶数称为阶数。输运方程是一阶； $u_{t} = κ u_{x x}$ 虽然对时间只有一阶，整体仍是二阶。线性要求未知函数及其导数以线性组合出现，系数可依赖独立变量，但不能依赖未知函数本身。

例如 $u_{t} + v (x, t) u_{x} = s (x, t)$ 在给定 $v, s$ 时是线性的； $u_{t} + u u_{x} = 0$ 中未知量与自己的导数相乘，是非线性的。齐次线性方程的解可以叠加，但若初边值被固定，叠加后也要检查它们是否仍满足相同的数据。

经典解具有方程所需的连续偏导并逐点满足方程。车辆密度等对象可能出现跳跃，跳跃处没有通常的导数。这时可从区间收支出发定义积分意义的解，也称弱解；这并不是忽略方程，而是保留无需逐点求导的守恒要求。弱解可能还要附加物理上合理的选择条件，交通流中的拥堵波将给出具体实例。

三种典型问题，以及“求得一个解”之外

热方程 $u_{t} = κ u_{x x}$ 描述温差逐渐抹平；波动方程 $u_{t t} = c^{2} u_{x x}$ 描述惯性与恢复作用下的传播，通常还需给初速度。没有时间变量的 $u_{x x} + u_{y y} = 0$ 则是拉普拉斯方程，可描述无热源的稳态温度。比如 $u (x, y) = x^{2} - y^{2}$ 的两个二阶导数为2和−2，相加为零；相应边界上的温度由这个函数给出。

这三个典型分别称为抛物型、双曲型、椭圆型。名称是更一般分类的入口，不应仅凭有没有某个时间导数给所有 PDE 分类。对本组模型，首先要分清扩散、波传播和静态平衡各在问什么。Jiří Lebl：PDEs 与热方程

一个可用的问题还应有解、在指定函数范围内唯一，并且数据稍变时解的变化可以控制，这三个要求合称适定性。常速全直线输运给出一个可手算的例子：两初值 $f_{1}, f_{2}$ 的解之差只是平移，因此 $sup_{x} | u_{1} (x, t) - u_{2} (x, t) | = sup_{x} | f_{1} (x) - f_{2} (x) | .$ 初始最大误差不会被放大；初值相同又立即推出解相同。数值计算时仍需另查离散格式的误差与稳定性，连续问题适定并不保证任意算法都可靠。

参考资料

Victor Ivrii，Partial Differential Equations，§2.1，特征线与常速输运。
同书§1.2，初边值问题、解的唯一性与适定性。
Jiří Lebl，Notes on Diffy Qs，§1.9，一阶 PDE 与沿曲线求导。
同书§4.6，线性 PDE、热方程与边界条件。
先修：导数、积分、微分方程；后续：热方程、波动方程、交通流模型、微分方程数值解。