交通流模型

交通流模型用数学变量描述车辆在道路上的运动和相互影响。微观模型跟踪每辆车的位置与速度，宏观模型把许多车的分布近似为密度场。本篇讨论一条均匀单向道路上的 Lighthill–Whitham–Richards 模型，简称 LWR 模型：它将车辆守恒与密度—速度关系结合成一个非线性偏微分方程。

车向前开，为什么堵车的队尾却向后退

沿行车方向取 $x$ 轴正向，单位千米，时间 $t$ 以小时计。令 $\rho (x,t)$ 是车辆密度，单位辆/千米；$v(x,t)$ 是平均车速，单位千米/小时；$q(x,t)$ 是通过断面的流量，单位辆/小时。

密度描述一个路段上有多挤，流量描述一段时间里通过多少车。若局部密度和速度近似均匀，短时间 $\Delta t$ 内，距断面 $v\Delta t$ 内的车经过它，数量约为 $\rho v\Delta t$，所以 $$q=\rho v.$$ 例如密度30辆/千米、车速54千米/小时，流量就是1620辆/小时。若前方更挤，车速很低，即使密度更大，也可能每小时只流出1200辆。每小时多进来420辆，拥挤路段便逐渐增长。队尾是两种交通状态的分界，不是某一辆倒着开的车。

先数清一个固定路段的车

取没有匝道的区间 $[a,b]$。其中车辆总数由连续近似给出 $$N(t)={\int }_a^b\rho (x,t)dx.$$ 车辆既不在内部凭空产生，也不消失，因此 $$\frac{d}{dt}{\int }_a^b\rho (x,t)dx=q(a,t)-q(b,t).$$

路段内车辆数的变化由两个断面流量之差决定；箭头方向均沿道路正向。

若密度与流量光滑，把右边写成 $-{\int }_a^b{q}_{x}dx$，并将左边的时间微分移入积分。任意区间上的积分都为零，就得到 $${\rho }_t+q_x=0.$$ 两项单位均为辆/(千米·小时)。存在进出匝道时要在右侧加入按单位路长计的净流入率；本篇的例子始终假设没有这类源项。

用一条速度曲线把方程封闭

只有守恒式还不够，$\rho ,q$ 是两个未知量。LWR 模型假定局部平均车速能立即由局部密度决定。采用一个便于分析的线性关系： $$v(\rho )=v_f(1-\frac{\rho }{{\rho }_j}),0\le \rho \le {\rho }_j.$$ 其中 $v_f$ 是低密度极限下的自由流速度，${\rho }_j$ 是车辆停止时的堵塞密度。它是模型假设，需要用交通数据检验，并非从车辆守恒推出的定理。

以下选取合成参数 $v_f=72\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$、${\rho }_j=120$ 辆/千米。于是 $$q(\rho )=72\rho (1-\frac{\rho }{120})=72\rho -0.6{\rho }^2.$$ 最后一个式子用的是上述单位下的数值。代入守恒式得到 $${\rho }_t+\frac{\partial }{\partial x}q(\rho )=0.$$

横轴增加表示车更密，不表示流量一定增加。金色割线连接后面拥堵例的左右状态，其斜率是状态边界速度。

求导得 $q^{\prime }(\rho )=72-1.2\rho$，二阶导数为−1.2。峰值位于 $\rho =60$，最大流量为2160辆/小时；空路和完全停止的堵塞状态，流量都为零。最大流量对应的车速36千米/小时，只有自由流速度的一半。这个具体结果属于选定的抛物线流量模型，换用实测的其他曲线时，峰值位置也会改变。Ketcheson、LeVeque、del Razo：Traffic flow

车速与小扰动传播速度

在密度光滑处使用链式法则， $${\rho }_t+q^{\prime }(\rho ){\rho }_x=0.$$ 沿路径 $x^{\prime }(t)=q^{\prime }(\rho )$ 求导，得到 $$\frac{d}{dt}\rho (x(t),t)={\rho }_t+x^{\prime }(t){\rho }_x=0.$$ 因此密度状态沿这类特征线保持不变。相应速度 $q^{\prime }(\rho )$ 是密度扰动传播的速度；车辆本身仍以 $v(\rho )$ 移动。

密度30时，车速54、特征速度36，均向前；密度100时，车速12仍向前，特征速度却是−48千米/小时。后方车辆因前方变拥挤而减速，减速状态逐级往上游传，完全可以比任何一辆车都朝更后方移动。

把特征线画在时空图中，若较快的特征线追上较慢的特征线，光滑解会要求同一点有两个密度值，产生矛盾。此后不能继续沿交叉直线拼成多值密度，而要回到原始守恒式，允许跳跃的解。

拥堵边界的速度，从积分守恒计算

设起初 $x<0$ 的上游密度为 ${\rho }_L=30$，$x>0$ 的下游密度为 ${\rho }_R=100$ 辆/千米。用 $x=s(t)$ 表示两状态边界，左边疏、右边密。在包含边界的固定区间中， $$N(t)={\rho }_L[s(t)-a]+{\rho }_R[b-s(t)].$$ 求导得 $N^{\prime }=({\rho }_L-{\rho }_R)s^{\prime }$；区间两端流量差又为 $q_L-q_R$。两者相等，所以 $$s^{\prime }=\frac{q_R-q_L}{{\rho }_R-{\rho }_L}.$$ 这称为 Rankine–Hugoniot 跳跃条件。它用的是流量—密度图中连接两状态的割线斜率，而不是某一点的切线斜率。同书：非线性守恒律与跳跃条件

本例 $q_L=1620$、$q_R=1200$，因此 $$s^{\prime }=\frac{1200-1620}{100-30}=-6\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}.$$ 初始边界在零处，十分钟后到达 $x=-1\mathrm{k}\mathrm{m}$。负号表示队尾向上游延伸。对于这条凹流量曲线，还满足 $$q^{\prime }({\rho }_L)=36>-6>-48=q^{\prime }({\rho }_R),$$ 两侧特征线均汇入边界，这是一条压缩冲击波。对于这里的标量严格凹流量，所列不等式是 Lax 熵条件；它在仅有守恒还不能唯一选解时，排除信息向外分离的非物理跳跃。

金色线是状态边界，浅色线是车辆轨迹。轨迹的折点表示车辆进入较慢状态，模型将调速理想化为瞬时。

还可以不用 PDE 再核对一次数量。对 $[-2,2]$ 千米路段，初始车数为 $2(30)+2(100)=260$。十分钟后，低密度段长1千米，高密度段长3千米，车数变为 $30+300=330$。增加的70辆恰好等于 $(1620-1200)/6$；在这十分钟里两端状态未变，计算可直接使用恒定边界流量。

密处后面接稀处，为什么会展开成一片

换一个独立初值：左侧密度90，右侧密度30。此时左侧特征速度为−36，右侧为36千米/小时，特征线向两边分开。若只照搬跳跃公式，会得到零速度的跳跃，却没有信息汇入它；这不是此初值所选的物理解。

两边之间形成连续展开的稀疏波。因为初值只在原点分界而没有其他长度尺度，尝试让密度依赖 $\xi =x/t$。设 $\rho =R(\xi )$，则 $${\rho }_t=-\frac{\xi }{t}{R}^{\prime }(\xi ),q(\rho {)}_x=\frac{q^{\prime }(R)}{t}{R}^{\prime }(\xi ).$$ 代回，在非恒定部分 $R^{\prime }\ne 0$，得到 $q^{\prime }(R)=\xi$。解出 $$R(\xi )=60(1-\frac{\xi }{72}).$$ 将两侧常状态接上，$t>0$ 时的解为 $$\rho (x,t)=\{\begin{array}{cc}90,& x/t\le -36,\\ 60(1-\frac{x/t}{72}),& -36<x/t<36,\\ 30,& x/t\ge 36.\end{array}$$ 这里 $x/t$ 以千米/小时表示，式子中72具有同样速度单位。扇形左右边界分别为 $x=-36t$、$x=36t$，公式在两边连续。

上图每条射线携带一个密度值；下图是在五分钟时横切扇区得到的空间剖面，中点密度为六十。

五分钟即 $t=1/12$ 小时，过渡区为 $[-3,3]$ 千米，原点密度为60、流量为2160辆/小时。左右远处的流量都为1620，但中间仍可以暂时有更大流量：过渡区不同位置在调整密度，不能把非稳态道路每个断面都当成同一流量。

初边值、适用尺度与可检验预测

以上两例都是无限道路上的初值问题，也称两常状态的 Riemann 问题。在有限路段上，必须描述路段外能送来多少车、能接走多少车；应在信息进入的边界给相容数据。拥堵时特征速度可能向左，下游条件就能影响上游，不能沿用“车辆向右，所以只需左边界”的判断。匝道、信号灯与车道变化也需独立说明规则。

密度场是许多车辆在适当时空尺度上的平均，不要求长度趋于零的实际路段里还有可平滑计数的车辆。模型假设所有驾驶行为可归结为同一局部速度关系，省略了反应延迟、有限加速度、换道、车辆差异。冲击处的瞬时速度变化是这一近似的表现；若研究单车急刹的加速度和安全距离，应改用能表达这些机制的模型。

可以检验的不是“道路是否大致画出拥堵形状”，而是：给定两侧密度与流量，测得的队尾速度是否接近跳跃条件；流量—密度曲线是否随地点和时段改变；以断面流量累计得到的车辆数，是否与路段计数一致。实际参数可由观测估计，随后用未参与拟合的数据检验。上述72、120等参数及两个初始场仅用于教学计算。

模型的文献来源

Lighthill 与 Whitham 在1955年的论文 On Kinematic Waves II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads 中研究由流量—密度关系产生的运动波；Richards 于1956年发表 Shock Waves on the Highway。LWR 名称对应这两项工作，不表示线性速度关系是从守恒唯一推出的形式。

• M. J. Lighthill、G. B. Whitham，1955，Proceedings of the Royal Society A 229，317–345；Transportation Research Board 收录版本。
• P. I. Richards，1956，Shock Waves on the Highway，Operations Research 4(1)，42–51。
• D. I. Ketcheson、R. J. LeVeque、M. J. del Razo，Riemann Problems and Jupyter Solutions，Traffic flow，凹流量、特征速度、压缩与稀疏。
• 同书，Burgers' equation，弱解、跳跃条件及熵条件的基础。
• 先修：偏微分方程、导数、积分；相关：数学建模、最小二乘法、微分方程数值解。