波动方程

波动方程（wave equation）是描述扰动传播的一类偏微分方程。一维无外力形式为 $u_{tt}=c^2{u}_{xx}$，其中 $u(x,t)$ 是随位置和时间变化的状态，$c>0$ 是传播速度。与热方程的升降温速度不同，这里空间弯曲决定的是加速度，因而惯性不能省去。

拨动一根弦以后，哪里先动

考虑一根拉紧的均匀弦。用平衡时的水平位置 $x$ 标记弦上的质点，$u(x,t)$ 是它的竖直位移。假设位移斜率很小、弦柔软而无弯曲刚度，只作小幅横向运动；忽略阻力，并把静态受力平衡扣除。设水平张力为近似恒定的 $T$，单位牛顿，平衡弦的线密度为 $\mu$，单位 $\mathrm{k}\mathrm{g}/\mathrm{m}$。

若某段弦被拨起，两旁张力会把它拉回，但弦有质量，不会立刻回到平衡位置。最初弦是什么形状、是否正在向上或向下运动，都会影响后来状态。因此需要两组初始数据： $$u(x,0)=f(x),u_t(x,0)=g(x).$$ 前者的单位是米，后者是米每秒。仅给一张初始形状图，尚未描述“轻轻释放”还是“同时向下拍击”。

小段弦两端的力怎样相减

取平衡坐标中的小段 $[x,x+\Delta x]$。左右端切线与水平方向的角分别为 ${\theta }_1,{\theta }_2$，其中 $\tan \theta =u_x$。左侧弦对这段的拉力朝左，右侧弦对这段的拉力朝右；竖直分量的净值是 $$F_y=T\tan {\theta }_2-T\tan {\theta }_1=T[u_x(x+\Delta x,t)-u_x(x,t)].$$ 这里的 $T$ 指水平分量；小斜率时，它与通常所说的张力大小近似相同。

左右拉力方向相反，F₁、F₂的竖直分量在图下列出。图中放大了斜率以显示方向；模型仍采用小斜率近似，横向范围为平衡坐标的长度。

小段质量约为 $\mu \Delta x$。牛顿第二定律给出 $$\mu \Delta x{u}_{tt}\approx T[u_x(x+\Delta x,t)-u_x(x,t)].$$ 除以段长并取极限，得到 $$\mu u_{tt}=T{u}_{xx},c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}.$$ 量纲为 $\sqrt{\mathrm{N}/(\mathrm{k}\mathrm{g}/\mathrm{m})}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$。弦在波峰附近向下弯时 $u_{xx}<0$，加速度向下，符合恢复作用的方向。张力越大，同一曲率产生的恢复力越大；线密度越大，同一力产生的加速度越小。

以下采用原创教学参数 $T=36\mathrm{N}$、$\mu =0.01\mathrm{k}\mathrm{g}/\mathrm{m}$，故 $c=60\mathrm{m}/\mathrm{s}$。这是波形沿弦传播的速度；弦的质点主要上下动，其竖直速度是 $u_t$，两者不是同一个量。Ivrii：基本偏微分方程的来源

不变形平移为什么满足方程

先看无限长弦，暂不考虑端点。任取足够光滑的函数 $F$，令 $u(x,t)=F(x-ct)$。它的二阶导数为 $$u_{tt}=c^2{F}^{″}(x-ct),u_{xx}=F^{″}(x-ct),$$ 因而满足波动方程。保持函数自变量不变要有 $x-ct=\text{常数}$，所以波形向右移动。类似地，$G(x+ct)$ 向左移动。

二者相加仍是解。事实上令 $\xi =x-ct$、$\eta =x+ct$，链式法则把方程化为 $u_{\xi \eta }=0$。先对 $\eta$ 积分，$u_{\xi }$ 只依赖 $\xi$；再对 $\xi$ 积分，得到 $$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$$ 这说明在足够光滑的全直线问题中，两族相反方向的行波构成一般解。Ivrii：特征坐标

从两个初值求出达朗贝尔公式

在 $t=0$ 处，位移和速度条件分别要求 $$F(x)+G(x)=f(x),-c{F}^{\prime }(x)+c{G}^{\prime }(x)=g(x).$$ 第一式求导得 $F^{\prime }+G^{\prime }=f^{\prime }$。与第二式联立： $$F^{\prime }=\frac{1}{2}{f}^{\prime }-\frac{g}{2c},G^{\prime }=\frac{1}{2}{f}^{\prime }+\frac{g}{2c}.$$ 选择一个固定积分起点分别积分，再代入行波式；两积分在起点处的部分相消，留下 $$u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}{\int }_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds.$$ 这就是达朗贝尔公式。积分项的单位是 $(\mathrm{s}/\mathrm{m})(\mathrm{m}/\mathrm{s})(\mathrm{m})=\mathrm{m}$，与位移项一致。

若轻轻释放，$g=0$，初始形状便分成两个各为一半的行波。取光滑隆起 $$f(x)=0.002\exp [-{\left(\frac{x}{0.12\mathrm{m}}\right)}^2]\mathrm{m},$$ 则在5毫秒后两个分量的中心分别位于 $x=\pm 0.3\mathrm{m}$，每个分量峰值为1毫米。总位移在任一点是两分量相加；两者尚重叠时，不能把总曲线的峰值简单说成一毫米。

图画的是两行波的和；从第二帧到第三帧可以辨认向左、向右移动，而不需要假设弦质点随峰横移。

同一初始形状也可以只向右走，但初速度必须改成 $g=-c{f}^{\prime }$。代入公式，积分项为 $-[f(x+ct)-f(x-ct)]/2$，恰好消去左行分量，余下 $f(x-ct)$。这给出了“只给形状不够”的一个可直接检验的例子。Lebl：达朗贝尔解

一个点受到多远的初始数据影响

公式中只出现区间 $[x-ct,x+ct]$ 内的初始数据。要改变 $(x,t)$ 处的解，初始扰动必须位于这个区间；来自更远处的扰动此时还到不了。

两条斜边是特征线。底边外的初始改动不影响顶点处的当前解，前提是尚未有边界反射进入。

例如 $x=0$、$t=0.005\mathrm{s}$，只需 $[-0.3,0.3]\mathrm{m}$ 内的数据。若一组初始位移和速度在这段都为零，则该点位移为零。上述高斯例在无限远仍有很小的尾部，本身不是有限支撑的扰动；有限传播结论说的是改变一段数据后的影响范围，并不把高斯尾部当成新近瞬间传出的信号。

两端固定以后，出现驻波

回到长 $L=1.2\mathrm{m}$ 的弦，并固定两端：$u(0,t)=u(L,t)=0$。设初位移为 $f(x)=0.002\sin (\pi x/L)$ 米，初速度为零。尝试 $u(x,t)=B(t)\sin (\pi x/L)$，代入方程得 $$B^{″}+{\left(\frac{c\pi }{L}\right)}^{2}B=0.$$ 由 $B(0)=0.002$、$B^{\prime }(0)=0$ 得 $$u(x,t)=0.002\sin \frac{\pi x}{L}\cos \frac{c\pi t}{L}.$$ 空间中的零点固定不动，其他位置各自上下振动，这称为驻波。基频与周期分别为 $$f_1=\frac{c}{2L}=25\mathrm{H}\mathrm{z},P=\frac{1}{f_1}=0.04\mathrm{s}.$$ 在10毫秒处余弦为零，整根弦瞬时通过平衡线，但多数质点此时速度不为零；“位移为零”不等于“振动已经消失”。

上图按同一空间坐标比较不同时刻；下图的第二振型在中点多一个永久节点，频率是基频的两倍。

更一般地，$\sin (n\pi x/L)$ 对应频率 $f_n=nc/(2L)$。第二振型 $n=2$ 的中点始终为零，频率50赫兹。任意符合条件的初始形状和初速度可展开为这些振型；每个振型都对应一个无阻尼简谐振子，但整个弦有一系列空间模式。Lebl：一维波动方程与固定端振型

端点还会反射行波。以 $x=0$ 为固定端、弦位于左半线为例，右行入射波 $F(x-ct)$ 可配上反射波 $-F(-x-ct)$；在端点两项恰好相消。因此固定端反射的位移脉冲反号。若端点自由且横向力为零，条件变为 $u_x=0$，同样代入可得反射项取正号。反射规律来自边界条件，并非所有端点都“弹回同样形状”。

能量为什么不会凭空消失

在线性小斜率近似下，弦的动能密度为 $\mu u_t^2/2$，弹性势能密度为 $T{u}_x^2/2$。后者来自小斜率弧长增量 $\sqrt{1+u_x^2}-1\approx u_x^2/2$。总能量为 $$E(t)=\frac{1}{2}{\int }_0^L(\mu u_t^2+T{u}_x^2)dx.$$ 对时间求导，用 $\mu u_{tt}=T{u}_{xx}$ 替换并合并成一个空间导数： $$E^{\prime }=T{\int }_0^L(u_t{u}_{xx}+u_x{u}_{xt})dx=T[u_t{u}_x{]}_0^L.$$ 固定端满足 $u_t=0$，所以 $E^{\prime }=0$。对于刚才的基频振型，初始只有势能，积分 ${\cos }^2(\pi x/L)$ 为 $L/2$，因此 $$E=\frac{T(0.002{)}^2{\pi }^2}{4L}\approx 2.9609\times 10^{-4}\mathrm{J}.$$ 通过平衡线时势能为零，同样的总能量变为动能。真实弦的空气阻力和内耗会使振幅衰减，那需要在方程中加入阻尼机制。能量恒定属于这里的无阻尼模型，也可用来检验数值模拟是否产生异常漂移。Ivrii：波动方程能量积分

参考资料

• Victor Ivrii，Partial Differential Equations，§1.4，弦振动与基本模型推导。
• 同书§2.4，特征坐标与行波。
• 同书§2.7，能量方法。
• Jiří Lebl，Notes on Diffy Qs，§4.7、§4.8，固定端振型与达朗贝尔公式。
• 先修：偏微分方程、积分、弹簧振子模型；相关：热方程、微分方程数值解。