需求价格弹性

需求价格弹性（price elasticity of demand）比较需求量的相对变化与价格的相对变化。它回答“价格增加约百分之一，需求量会怎样变化”，而不是只问“价格增加一元，少买几份”。讨论时要保持影响需求的其他条件不变，并说明所用的是一点附近的弹性，还是两个价格之间的平均变动指标。

同样少卖两份，相对影响可以不同

沿用一个标准化印刷资料包市场的合成需求：$Q(p)=50-p/2$，价格 $p$ 的单位为元/份，需求量 $Q$ 的单位为份/日。本篇在 $0<p<100$ 内计算，确保价格和需求量都为正；这不是对真实市场的估计。

价格从40提高到44，需求从30减到28。若以初始值为基数，价格上升10%，数量下降约6.67%。同样提高4元，从80到84时数量由10减到8，价格只上升5%，数量却下降20%。两次斜率都为 $\Delta Q/\Delta p=-1/2$，相对影响却不同。

百分比让结果不依赖“元还是角”“份还是百份”的记数单位。若只比较斜率，换一个坐标单位就会改变数值，不能据此比较不同商品的响应程度。

从相对变化到点弹性

在正价格 $p$ 处给一个很小的变化 $\Delta p$，先分别除以各自基数： $$\frac{\Delta Q/Q(p)}{\Delta p/p}=\frac{p}{Q(p)}\frac{\Delta Q}{\Delta p}.$$ 若 $Q$ 在此处可微，令 $\Delta p\to 0$，得到带符号的点弹性 $$\epsilon (p)=\frac{p{Q}^{\prime }(p)}{Q(p)}.$$ 下降需求的 $Q^{\prime }(p)<0$，所以 $\epsilon <0$。经济学常把下降需求的弹性报告为非负大小，本文记 $$E(p)=-\epsilon (p)=-\frac{p{Q}^{\prime }(p)}{Q(p)}.$$ 因此本文说“弹性为1.5”时，意思是小幅提价1%约使需求量减少1.5%，方向没有消失，而是写进了“减少”。如果考察非下降关系，应直接保留带符号的 $\epsilon$，不能机械地套用“必定减少”。两种记号约定需要在引用数值时对齐。OpenStax §5.1给出了常用的弹性大小约定。

代入本例， $$E(p)=\frac{p/2}{50-p/2}=\frac{p}{100-p}.$$ 价格40时为 $2/3$，50时为1，60时为 $3/2$。一条直线可以在不同位置有不同弹性；固定的是导数，变化的是比例因子 $p/Q$。

直线斜率不变，点弹性仍沿线变化。

$E>1$ 称为富有弹性，$0\le E<1$ 称为缺乏弹性，$E=1$ 称为单位弹性。它们是对局部相对变化的分类，不是给商品贴永久标签。在本例中价格趋向100时需求趋向零，弹性越来越大；到端点 $Q=0$ 已不能用原定义除以需求量。价格为零时相对价格变化也失去通常意义，即使代数式有极限，也应与端点处的定义区分。

若换用新单位 $\tilde{p}=ap$、$\tilde{Q}=bQ$（$a,b>0$），链式法则给出 $$\frac{\tilde{p}}{\tilde{Q}}\frac{d\tilde{Q}}{d\tilde{p}}=\frac{ap}{bQ}\frac{b}{a}{Q}^{\prime }=\frac{p}{Q}{Q}^{\prime }.$$ 两种单位系数抵消，这才是弹性无量纲的数学理由。

两个价格相距不小时，用哪个基数

40元到44元这段变化，若从40出发算普通百分比，弹性大小为 $(2/30)/(4/40)=2/3$；反过来从44回到40，得到 $(2/28)/(4/44)=11/14$。结果不同，原因是百分比的基数改变，而不是同一段数据互相矛盾。

中点法用两端平均数作共同基数： $$E_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}}=-\frac{(Q_2-Q_1)/[(Q_1+Q_2)/2]}{(p_2-p_1)/[(p_1+p_2)/2]}.$$ 在价格和数量都为正、价格不同且需求下降时，此式给非负的弧弹性。代入 $(p_1,Q_1)=(40,30)$、$(p_2,Q_2)=(44,28)$： $$E_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}}=\frac{2/29}{4/42}=\frac{21}{29}\approx \mathrm{0.7241.}$$ 交换两端，分子分母同时反号，结果不变。本例是线性需求，中点法恰等于中点价格42处的点弹性；一般非线性需求没有这个恒等式。点弹性、弧弹性与一个较大区间的预测因此不应混为一谈。

提价时，少卖和多收怎样相抵

总收益是 $R(p)=pQ(p)$。从40元到44元，原收入为 $40\times 30=1200$，新收入为 $44\times 28=1232$。可以把32元增量拆成两块：仍卖出的28份每份多收4元，增加112；不再售出的2份各少收原来的40元，减少80。

矩形的高是价格，宽是数量，面积才是收入。

局部的抵消关系可以用乘积求导准确表达： $$R^{\prime }(p)=Q(p)+p{Q}^{\prime }(p)=Q(p)[1-E(p)].$$ 在 $Q>0$ 下，若 $E<1$，小幅提价使收益增加；若 $E>1$，小幅提价使收益减少。若 $E=1$，一阶收益变化为零，是否为极大值还需看两侧符号或更高阶项。相关经济解释见 OpenStax §5.3。

本例可以完整算出 $$R(p)=50p-\frac{1}{2}{p}^2=1250-\frac{1}{2}(p-50{)}^2.$$ 所以价格50、数量25时收入最高1250。价格40与60的收入都为1200，但前者局部提价能增加收益，后者局部提价会减少收益。图中的同高两点和峰值之间的关系，正是弹性分类的一个可复算解释。

收入相同的两个价格，可以具有相反的局部提价效果。

价格从60增加10%到66，需求由20降至17，收入从1200降至1122。这是一个有限幅度的直接复算；一般需求函数若只知道某一点弹性，不能在很大价格区间反复套用同一个百分比近似。

常弹性与定价决策的边界

一个有用的对照是 $Q(p)=A{p}^{-e}$，其中 $A>0,e>0,p>0$。求导后 $$-\frac{p(-eA{p}^{-e-1})}{A{p}^{-e}}=e,$$ 弹性处处相同。它与线性需求的差别来自函数形式，不是坐标画得更陡或更平。若 $e=1$，收入 $pQ=A$ 在整个区间恒定；这也是“单位弹性不一定对应唯一收益最大点”的例子。此模型在极端价格下可能不适用，必须保留估计区间与实际约束。

收入最大不等于利润最大，因为减少产量还会改变成本。成本收益与利润的同一需求例中，收入最大在25份，而计入成本后的利润最大在18份。弹性关系也不自动提供因果估计：如果涨价同时伴随旺季、质量升级或买方增加，观察到的销量变化不能全部归给价格。用数据估计时应交代时间范围、其他条件以及不确定性，再用统计推断评估证据。

参考资料

• OpenStax，Principles of Microeconomics 3e，§5.1：弹性的相对变化含义、符号约定与中点法。
• OpenStax，同书 §5.3：需求弹性与总收益的联系。
• 先修：导数、函数；相关：供需模型、成本收益与利润。