正比例与反比例

正比例描述两个量之间比值固定的关系，通常写成 $y = k x$ ；反比例描述两个量乘积固定的关系，写成 $y = k / x$ ，其中比例系数 $k \neq 0$ ，反比例式还要求 $x \neq 0$ 。它们判断的是一种具体的倍数关系，远比“一个增加，另一个也增加”或“一个增加，另一个减少”更严格。

印制份数翻倍，什么量也会翻倍

一次教学活动需要印制资料包，规定每份恰用3张纸，不另计试印和损耗。令 $q$ 为资料包份数， $P$ 为用纸张数。以下是这个合成工序的数量关系：

资料份数 $q$	用纸张数 $P$	每份用纸 $P / q$
20	60	3
40	120	3
80	240	3
120	360	3

从20份变成40份，每一份的规格没有改变，因此总用纸从60张变为120张；将份数乘2，也把用纸张数乘2。这来自“每份固定3张”的机制，可以直接写成 $P = 3 q .$ 3的单位为张/份，而不是一个没有含义的倍率。只要 $q > 0$ ，两边除以 $q$ 都得到 $P / q = 3$ 。没有印制任务时， $q = 0$ 对应 $P = 0$ ；这里用乘法式判断，不能在零处作 $P / q$ 的除法。

资料份数20、40、80、120对应纸张60、120、240、360，所有点在经过原点的P等于三q直线上 — 图中标出的整份数量都满足同一比值。细线显示公式的连续延伸，实际整份任务只取整数横坐标。

图上的 $(40, 120)$ 就是表中第二行。由原点连向各点，得到同一方向；若任选两个不同的份数，增加一份仍只多用3张，所以斜率也是3。这里实际定义域是非负整数；画出的整条直线是便于观察的连续延伸，并不表示可以交付任意小数份的完整资料包。

正比例怎样识别，怎样求未知数

在数量关系中，非零常数 $k$ 称为比例系数。对允许的每个输入都有 $y = k x$ ，便称 $y$ 与 $x$ 成正比例。本篇的数量案例取 $k > 0$ ；若讨论带方向的实数量，也可以使用非零负系数，此时图线随 $x$ 增加而下降。无论符号如何，核心都是同一个比值，而不是上升外观。OpenStax《Elementary Algebra 2e》§8.9

已知一个非零输入及输出，可以在已知正比例关系成立的前提下求系数。比如只知道“每份规格相同，60份用了180张”，则 $k = 180 / 60 = 3$ 。印75份需要 $P = 3 \times 75 = 225$ 张。也可直接使用对应比值： $\frac{P}{180} = \frac{75}{60}, P = 180 \times \frac{75}{60} = 225.$ 这里左右两个比都按“新数量/旧数量”排列。把纸张和份数的位置交叉混用，会失去对应关系；比与比例解释了比例式中各项的角色。

一般地，把输入乘以一个允许的正倍数 $c$ ，就有 $y (c x) = k (c x) = c (k x) = c y (x) .$ 此式解释了“翻倍也翻倍”的由来。一次翻倍实验碰巧吻合，却还不能证明所有输入都遵守该规律；确定模型还需要固定规格的机制或更多适用范围内的数据。

如果每批先额外消耗12张试印纸，再印正式资料，则对正份数任务， $P = 12 + 3 q$ 。20份用72张，40份用132张，后者并不是72的两倍。此时 $P / q = 3 + 12 / q$ 随份数变化。直线仍有固定斜率3，但有非零的启动量，因此正式总用纸不与份数成正比例；扣除试印部分后的 $P - 12$ 才与 $q$ 成正比例。

固定120份任务，速度与时间是什么关系

回到同一印制工序。现在固定需要完成120份，令 $v > 0$ 为稳定产出速度，单位为份/分， $T$ 为实际运行时间，单位为分。先忽略准备、暂停与损耗。在该运行机制下，“每分钟完成的份数乘分钟数”就是总份数： $v T = 120.$ 因为 $v > 0$ ，可以除以速度，得到 $T = \frac{120}{v} .$ 它不是从“快就用时少”猜出来的，而是由总任务固定推出的。

速度 $v$ （份/分）	时间 $T$ （分）	乘积 $v T$ （份）
10	12	120
15	8	120
20	6	120
30	4	120
40	3	120

速度二十与运行时间六、速度四十与时间三在同一反比例曲线上，以两点为右上角的坐标矩形乘积均为一百二十份 — 横坐标乘纵坐标等于完成份数；更宽的矩形同时更矮，所代表的总任务不变。

图中矩形的横边用“份/分”计，纵边用“分”计，所以乘积的单位是份。两块矩形在绘图坐标中的面积相等，对应 $20 \times 6 = 40 \times 3 = 120$ ；它们不是两张实际纸的几何尺寸。

一般的反比例关系为 $x y = k$ ，其中 $k \neq 0$ ，等价于 $y = k / x$ 。若将非零输入乘以 $c > 0$ ，并且新旧输入都在允许范围内，则 $y (c x) = \frac{k}{c x} = \frac{1}{c} y (x) .$ 输入变成2倍，输出变成一半；输入变成原来的四分之三，输出则变成原来的三分之四。OpenStax《College Algebra 2e》§5.8

在本例中 $v$ 只能为正，图像仅用第一象限这一支。速度为零时无法完成正任务，不能向公式代入零。数学上， $y = k / x$ 还可研究负输入； $k > 0$ 时两支位于第一、第三象限， $k < 0$ 时位于第二、第四象限。真实任务的变量意义决定使用哪部分图像。

用时下降，也可能不是反比例

如果每批都需要5分钟准备，运行120份仍需 $120 / v$ 分钟，但总用时变成 $T_{a l l} = 5 + \frac{120}{v} .$ 速度从20增至40份/分，运行时间由6分减为3分，总时间却由11分减为8分，并未减半。检查乘积也能发现问题： $20 \times 11 = 220$ ， $40 \times 8 = 320$ ，不再固定。与速度成反比例的是扣除准备后的运行时间 $T_{a l l} - 5$ 。

总用时曲线等于五加一百二十除速度，始终比运行时间曲线高五分钟，速度二十和四十时总时间为十一和八 — 准备时间不能随运行速度一并减半；虚线水平线5表示总时间只能从上方接近的界限。

看图中总时间曲线与水平线5的距离，正是运行时间 $120 / v$ 。在这个理想公式里，任意有限正速度都使总时间大于5分钟。真实机器还有速度上限；公式中的 $v \to \infty$ 只是对模型边界的数学观察，不是现实提速方案。

再如 $y = 10 - x$ 在 $0 < x < 10$ 内也随 $x$ 增加而下降，但 $x = 2, 4$ 时乘积分别为16、24，不是反比例。“下降”只说明方向，“乘积固定”才说明具体关系。

一道同时检查两种关系的变式

问题。规格仍为每份3张，需印75份。设备可稳定完成25份/分，每批另有5分钟准备。需要多少纸、运行多久、总共多久？如果把速度增加到50份/分，总时间是否减半？

解答。用纸为 $75 \times 3 = 225$ 张。运行时间为 $75 / 25 = 3$ 分钟，总时间为8分钟。提速后运行时间为 $75 / 50 = 1.5$ 分钟，总时间为6.5分钟；只有运行部分减半。新任务的反比例系数已由120变成75，不能把旧任务的 $120 / v$ 原样沿用。

再判断 $A = x^{2}$ ：边长翻倍时面积变成4倍，所以面积与边长本身不成正比例，与边长的平方才成正比例。把“同向变化”细分为具体的幂次关系，是幂函数与尺度律进一步研究的问题。

参考资料

Lynn Marecek 等，Elementary Algebra 2e，§8.9 Use Direct and Inverse Variation：固定比值、固定乘积及未知比例系数。
Jay Abramson 等，College Algebra 2e，§5.8 Modeling Using Variation：比例建模、倍数变化与幂的比例关系。
同书 §4.1 Linear Functions：固定变化率与非零截距的区别。