斜率与平均变化率

斜率（slope）表示在一条非竖直直线上，纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。平均变化率（average rate of change）把同样的比较用于函数的两个输入：在指定区间内，输入每增加一个单位，输出平均改变多少。前者描述直线，后者也适用于曲线。

水增加了十二升，为什么还要除以三

一个水箱原有6升水，打开水龙头后，记录从开始计时经过的时间。设 $t$ 的单位为分钟，$V(t)$ 的单位为升。以下是无漏水、未装满且以固定速率注水的合成算例：

时间 $t$（分）	水量 $V(t)$（升）
0	6
2	14
5	26

从第2分钟到第5分钟，水量增加了 $26-14=12$ 升。但12升只告诉我们总增量，还没有告诉我们增加得快不快。因为这段变化用了 $5-2=3$ 分钟，把增量分摊到每分钟，得到 $$\frac{26-14}{5-2}=\frac{12}{3}=4\text{升/分}.$$ 分子、分母都要作差：用 $26/5$ 得到的5.2，把原先已有的6升也算进了注入量；用 $12/5$ 又把不属于这段比较的前2分钟计入了时间。

先读水平变化3，再读竖直变化12；直角三角形的两条直角边分别对应分母和分子。

图中的点 $A=(2,14)$ 和 $B=(5,26)$ 正是表中两行。先从 $A$ 水平走到 $(5,14)$，再竖直走到 $B$，可以把同时发生的变化拆开看。辅助线不是另一条注水过程，而是计算坐标差的尺子。

从两个点写出斜率

一般地，取两个横坐标不同的点 $A=(x_1,y_1)$、$B=(x_2,y_2)$，定义 $$\Delta x=x_2-x_1,\Delta y=y_2-y_1,m=\frac{\Delta y}{\Delta x},x_1\ne x_2.$$ $\Delta$ 是希腊字母 delta，在这里表示“变化量”；$m$ 表示连接这两点的直线斜率。OpenStax《College Algebra 2e》§4.1

反向从 $B$ 到 $A$ 时，两个差都变号：$(14-26)/(2-5)=(-12)/(-3)=4$。所以斜率与选取的走向无关，前提是分子和分母使用相同的点序。

若从左向右走，$\Delta x>0$，斜率的符号就由纵坐标变化决定。上升直线的斜率为正，下降直线为负，水平直线为零。例如排水规律 $V(t)=26-2t$ 在 $0\le t\le 13$ 上的斜率是 $-2$ 升/分，负号表示水量减少。竖直线则有 $\Delta x=0$，上述除法没有定义；不能把它的斜率填写成一个普通的实数“无穷大”。

斜率带有“纵轴单位/横轴单位”。同一注水过程若改用秒，4升/分变成 $1/15$ 升/秒，实际快慢没有改变。屏幕把纵轴拉长或横轴压窄，也会改变线条看起来的倾斜程度。比较图形的陡缓，应先检查坐标单位与刻度，不能直接比较截图上的角度。

固定斜率怎样给出整条直线

在水箱假设中，每分钟都注入4升，因此经过 $t$ 分钟增加 $4t$ 升，再加上原有6升： $$V(t)=6+4t.$$ 在当前观察的 $0\le t\le 5$ 内，代入 $t=2$、$t=5$，分别得到14、26，与表相符。若仅有表中三个观测值，而没有固定注水速率的条件，这条直线只是一个待检验的候选；有限几个点共线不证明中间每一时刻都匀速。

也可以从已知点 $(2,14)$ 出发。任意时刻与它相比都满足 $V-14=4(t-2)$，展开后仍是 $V=4t+6$。一般的点斜式为 $$y-y_1=m(x-x_1).$$ 它先固定一个点，再要求其他点都遵守同一个变化比。展开可得 $y=mx+b$，其中 $b=y_1-m{x}_1$ 是纵截距。将任意两个不同横坐标代入这一式子，常数项相消： $$\frac{(m{x}_2+b)-(m{x}_1+b)}{x_2-x_1}=\frac{m(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=m.$$ 这解释了为什么同一条直线上选不同的两点仍得到相同斜率，也解释了为什么改变初始水量不会改变注水速度。

上方水箱始终多6升，但每分钟的增量相同。纵截距描述起点，斜率描述变化。

图中第二个水箱原有12升，以同样的速率注水，所以 $W(t)=12+4t$。同一时刻 $W(t)-V(t)=6$，两条线的竖直距离保持不变。在初等建模中 $mx+b$ 常称为线性模型；严格的线性代数语境会把 $b\ne 0$ 的这种关系称为仿射关系。它也不一定是正比例，因为正比例还要求过原点。

曲线上的平均变化率为什么依赖区间

如果注水过程改变，斜率计算仍有用，但应说明比较的是哪段时间。对在两个输入处有定义的函数 $f$，在 $a<b$ 上的平均变化率是 $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 这就是连接 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 的割线斜率。定义只需两端的函数值，不要求整个过程匀速。OpenStax，§3.3

例如另一个非匀速水箱在0至5分钟满足 $U(t)=6+t^2$，仍以分钟、升为单位，二次项系数包含相应的单位换算。其水量在 $t=0,2,5$ 时为6、10、31升。前2分钟的平均变化率为 $(10-6)/2=2$，后3分钟为 $(31-10)/3=7$，全程则为 $(31-6)/5=5$ 升/分。

曲线不沿割线走；割线只把指定区间的总变化压缩成一个平均速率。

全程平均值不是 $(2+7)/2=4.5$，因为两段持续时间不同。先把各段速率乘回时间，得到各段实际增量，再相加除以总时间： $$\frac{2\times 2+7\times 3}{2+3}=5.$$ 一般地，连续两段的平均变化率 $m_1,m_2$ 与区间长度 $h_1,h_2>0$ 满足 $m=(h_1{m}_1+h_2{m}_2)/(h_1+h_2)$。这个加权公式来自增量可相加，不要求每一段内部匀速。

平均变化率只描述净变化。水量先增加再减少，回到原值时，全段平均变化率为零，期间仍可能有明显变化。要研究某一时刻附近的变化，可以进一步缩短区间；当相应极限存在时便进入导数的范围。这里的两端计算不依赖那个极限。

换一个数据，能否自己建模

问题。另一个水箱在第1分钟有11升，第4分钟有20升。已知这段时间注水速率固定、没有漏水。求每分钟增量、第3分钟水量，并判断是否能够直接断言开始时有8升。

解答。时间差为3分钟，水量差为9升，所以斜率 $m=9/3=3$ 升/分。第3分钟比第1分钟晚2分钟，故水量为 $11+3\times 2=17$ 升。在 $1\le t\le 4$ 上，公式为 $V=11+3(t-1)=3t+8$。其中8是这条直线的纵截距；要把它解释为实际初始水量，还须确认第0至第1分钟也服从同一规律。已有条件只覆盖1至4分钟，因此该历史结论尚不能推出。

这一区别也适用于预测：在已声明的范围内代入叫作使用模型，将公式延伸到未核实的区间则增加了一个假设。分段函数讨论规则在某些时刻确实发生改变时怎样接续模型。

参考资料

• Jay Abramson 等，College Algebra 2e，§4.1 Linear Functions：斜率、截距、点斜关系及单位解释。
• 同书 §3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs：平均变化率与图形行为。
• 同书 §3.1 Functions and Function Notation：输入、输出与函数图像。