积分

积分是把局部贡献汇总成整体量的数学运算。定积分给出指定区间内的累计量；不定积分表示一个函数的全部原函数。二者通过微积分基本定理联系起来，但含义并不相同。

从小矩形到黎曼积分

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，把区间分成小段，在第 $i$ 段选择一点 ${\xi }_i$，构造和 $$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i.$$ 如果当最大分段长度趋于零时，这些和不依赖划分与取点而趋于同一个数，就称函数黎曼可积，该数记为 ${\int }_a^{b}f(x)dx$。闭区间上的连续函数一定黎曼可积。

右端点矩形在递增函数的图像上方，给出高估；不断细分后，矩形总面积趋于积分。

对 $f(x)=x^2$、区间 $[0,1]$，等分成 $n$ 段并取右端点： $$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\frac{1}{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}⟶\frac{1}{3}.$$ 因此 ${\int }_0^1{x}^{2}dx=1/3$。这里积分的值来自极限，随后才可以用原函数更快捷地计算。

累计量带有符号和单位

当 $f\ge 0$ 时，积分等于图像与横轴之间的面积；若函数可正可负，积分是上方面积减去下方面积。例如 $${\int }_{-1}^{1}xdx=0,{\int }_{-1}^1|x|dx=1.$$ 前者是有向面积，后者才是几何总面积。如果 $v(t)$ 是一维速度，$\int v(t)dt$ 给出位移，$\int |v(t)|dt$ 给出路程。若速度单位为米每秒、时间单位为秒，积分结果的单位为米。

用原函数计算定积分

若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，且 $F^{\prime }=f$，则 $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$ 例如 $F(x)=x^3/3$ 是 $x^2$ 的原函数，代入端点再次得到 $1/3$。不定积分则写作 $\int x^{2}dx=x^3/3+C$，其中 $C$ 是任意常数；定积分结果不附加这个任意常数。

换元法来自链式法则。以 $u=x^2$、$du=2xdx$，有 $${\int }_0^{1}2x{e}^{x^2}dx={\int }_0^1{e}^{u}du=e-1.$$ 换元时变量、微分因子与上下限必须一起变换，不能只把被积函数中的字母换掉。

不可积与反常积分

有界不保证黎曼可积。例如有理数处取 1、无理数处取 0 的函数，在任意小区间内上下界仍为 1 和 0，黎曼上下和无法靠拢。

无穷区间或无界被积函数需要额外定义反常积分，并检查相应极限。比如 $${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}2(1-\sqrt{\epsilon })=2,$$ 而 ${\int }_0^{1}dx/x$ 发散。两者在 0 都无界，却有不同的可积性；不能直接在原函数中代入无定义的端点。

延伸阅读

• OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.2：黎曼和与定积分。
• 极限 · 导数 · 期望 · 环面