海伦公式

海伦公式（Heron's formula）由三角形的三条边直接计算面积。如果边长为 $a,b,c$，半周长为 $s=(a+b+c)/2$，则面积 $$\Delta =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$ 它不需要预先知道高或角度，但边长必须能够组成三角形。公式里的四个因子为什么会出现，可以从余弦定理和底乘高的面积公式一步步推出。

三边十三、十四、十五，面积是多少

设三角形 $ABC$ 的边长为 $$a=BC=13,b=CA=14,c=AB=15.$$ 每个小写字母表示对应大写顶点的对边。长度使用同一单位，面积则使用该单位的平方。

先检查三边能否合拢成三角形。三条边都是正数，且最长边十五小于另外两边之和二十七，所以满足严格三角形不等式。半周长为 $$s=\frac{13+14+15}{2}=21.$$ 四个因子依次是 $21,8,7,6$，因此 $$\Delta =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84.$$ 答案是八十四平方单位；根号内是四个长度的乘积，量纲为长度的四次方，开平方后正好是面积。

可以用高独立检查一次。从 $C$ 向 $AB$ 作垂线，垂足为 $D$。两个直角三角形满足 $$A{D}^2+C{D}^2=14^2,(15-AD{)}^2+C{D}^2=13^2.$$ 相减消去高，得到 $225-30AD=-27$，所以 $$AD=\frac{42}{5},CD=\sqrt{14^2-{\left(\frac{42}{5}\right)}^2}=\frac{56}{5}.$$ 于是底乘高再除以二为 $$\Delta =\frac{1}{2}\cdot 15\cdot \frac{56}{5}=84.$$

海伦公式与底乘高得到同一面积；高可以由三边求出，只是不必每次另算。

这也解释了三边为何足够：在欧氏平面中，三边确定三角形的形状与大小，镜像放置不会改变面积。四边形没有同样的结论：四条单位长度的边既能组成面积一的正方形，也能组成内角三十度、面积二分之一的菱形。只知道边数相应的长度，不一定足以确定面积。

从夹角面积到只含三边的表达式

现在暂时回到一般三角形。约定 $A$ 为边 $b,c$ 的内夹角，面积为 $\Delta$。以 $c$ 作底时，高为 $b\sin A$，所以 $$\Delta =\frac{1}{2}bc\sin A.$$ 非退化三角形有 $0<A<\pi$，正弦为正。即使角 $A$ 为钝角，高落在底边延长线上，$b\sin A$ 仍是正的垂直高度；这里没有要求三角形为锐角。

由余弦定理， $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$ 我们希望消去角度，因而先将面积平方，再使用 ${\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A$： $$4{\Delta }^2=b^2{c}^2{\sin }^{2}A=b^2{c}^2(1-{\cos }^{2}A).$$ 把余弦的边长表达式代入，得到 $$4{\Delta }^2=b^2{c}^2-\frac{(b^2+c^2-a^2{)}^2}{4}.$$ 两边乘四，便只剩边长： $$16{\Delta }^2=4b^2{c}^2-(b^2+c^2-a^2{)}^2.$$ 右侧已经能计算面积，但三个边长的地位还不明显。接下来的因式分解会显出它的对称性。

两次平方差，得到四个长度因子

把 $4b^2{c}^2$ 看作 $(2bc{)}^2$。第一次使用平方差公式： $$16{\Delta }^2=[2bc-(b^2+c^2-a^2)][2bc+(b^2+c^2-a^2)].$$ 第一个括号中，$2bc-b^2-c^2=-(b-c{)}^2$；第二个括号中，$2bc+b^2+c^2=(b+c{)}^2$。所以 $$16{\Delta }^2=[a^2-(b-c{)}^2][(b+c{)}^2-a^2].$$ 再对两个括号各用一次平方差： $$16{\Delta }^2=(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c).$$ 现在令 $s=(a+b+c)/2$。逐个对应， $$a+b+c=2s,b+c-a=2(s-a),$$ $$a-b+c=2(s-b),a+b-c=2(s-c).$$ 四个二相乘产生十六，与等号左边的十六相消，得到 $${\Delta }^2=s(s-a)(s-b)(s-c).$$ 面积非负，取正平方根，便是海伦公式。OpenStax《Precalculus 2e》§8.2：余弦定理与海伦公式

回看十三、十四、十五：余弦定理先给出 $\cos A=3/5$，从而 $\sin A=4/5$，面积仍为 $14\cdot 15\cdot (4/5)/2=84$。三种计算并不互相独立地创造不同面积，而是在消去高或角度后表达同一关系。

半周长减一边，有没有几何意义

在三角形内作与三边都相切的内切圆，圆心为 $I$，半径为 $r$，接触点分别为 $U\in AB$、$V\in BC$、$W\in CA$。同一顶点向圆引出的两条切线段等长，例如 $AU=AW$。

这个等长关系也可由勾股定理说明：半径 $IU,IW$ 都垂直于切线且长为 $r$，两个直角三角形又共用斜边 $AI$，故 $A{U}^2=A{I}^2-r^2=A{W}^2$，取正长度即得相等。

令顶点 $A,B,C$ 引出的切线段长度分别为 $x,y,z$。沿三条边相加： $$c=x+y,a=y+z,b=x+z.$$ 因此 $s=x+y+z$，再减去对边就得到 $$s-a=x,s-b=y,s-c=z.$$ 所以三个差不仅是代数记号，也是三个顶点处的切线长度。本例分别为八、七、六。

相同顶点处的两个数相等；它们在每条边上相加，还原十三、十四、十五。半径 IU 垂直于 AB。

把圆心与三个顶点相连，三角形被分成三个小三角形；它们分别以 $a,b,c$ 为底，到底边的高都是 $r$。于是 $$\Delta =\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=sr.$$ 本例 $r=\Delta /s=84/21=4$。这里接触点 $U$ 满足 $AU=8$，与前一图满足 $AD=8.4$ 的高垂足 $D$ 不同。

将切线长度代回海伦公式，还可写成 $${\Delta }^2=(x+y+z)xyz,r^2=\frac{xyz}{x+y+z}.$$ 本例第二式为 $r^2=8\cdot 7\cdot 6/21=16$，再次得到半径四。

直角和钝角也用同一公式

对于边长三、四、五的直角三角形，$s=6$，所以 $$\Delta =\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6.$$ 它与两条直角边乘积的一半 $3\cdot 4/2=6$ 一致。海伦公式没有排除直角，只是在此情况下不如直接用直角边简便。

再取钝角三角形 $a=7,b=3,c=5$。余弦定理给出 $$\cos A=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot 3\cdot 5}=-\frac{1}{2},$$ 所以 $A=120^{\circ }$。它的半周长为 $15/2$，海伦公式得到 $${\Delta }^2=\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{5}{2}=\frac{675}{16},$$ $$\Delta =\frac{15\sqrt{3}}{4}\approx \mathrm{6.4952.}$$ 另一种核验是夹角面积 $3\cdot 5\sin 120^{\circ }/2=15\sqrt{3}/4$。钝角的高落到边外，不会使面积变负，也不需要给海伦公式额外添负号。

三角形不等式为什么正好出现在根号里

对正边长，$s>0$，而 $$s-a=\frac{b+c-a}{2},s-b=\frac{c+a-b}{2},s-c=\frac{a+b-c}{2}.$$ 三个差严格为正，正好对应三条严格三角形不等式。若最长边等于另外两边之和，相应因子为零；三点共线，面积也为零。若最长边大于另外两边之和，根号内成为负数，说明输入不能组成欧氏三角形，而不是得到一种“负面积”。例如 $1,2,4$ 的根号内为 $-105/16$。

固定两边 $b=3,c=4$ 时，第三边的允许范围为 $1<a<7$。把它们代入四因子式： $$16{\Delta }^2=(a+7)(7-a)(a+1)(a-1).$$ 当 $a$ 接近一或七，面积都趋于零。第三边逐渐变长并不意味着面积一直增大：先前未分解的式子还给出 $${\Delta }^2=36-\frac{(25-a^2{)}^2}{16}\le 36.$$ 等号当且仅当 $a^2=25$，即 $a=5$ 时成立。此时两条固定边恰好垂直，面积最大为六。

端点 a=1、a=7 不属于非退化三角形；最高点对应三四五直角三角形。

接近退化时，边长的小变化可能造成很大的相对面积变化。例如边长 $3,4,6.99$ 的面积约为 $0.6469$；若过早把 $6.99$ 舍入成七，结果就变为零。测量精度不足时，应保留输入的不确定性，而不是把开根号后的许多小数当作准确面积。实际数值计算也宜保留足够有效位，尤其注意两个接近量相减形成的 $s-a$。

名称与文献

公式以亚历山大的海伦（Heron，也拼作 Hero）命名。他约活跃于公元一世纪，著作《度量论》（Metrica）第一卷讨论平面图形等对象的度量，并给出这一三角形面积公式的证明。圣安德鲁斯大学的数学史资料对该书内容有具体记述。MacTutor：Heron of Alexandria

本页采用的“面积公式—余弦定理—因式分解”是现代三角函数语言下的推导，不把它当作《度量论》原文的符号或原有证明方式。其作用在于说明：只要三条边满足三角形条件，角度和高都可以从面积表达式中消去。

参考资料

• OpenStax，Precalculus 2e，§8.2：非直角三角形、余弦定理和海伦公式的条件与用途。
• David Joyce，Laws of Cosines & Sines，Clark University：锐角和钝角的高与三角函数关系。
• J. J. O'Connor 与 E. F. Robertson，Heron of Alexandria，MacTutor，University of St Andrews：《度量论》第一卷及海伦公式的历史记载。
• 相关：余弦定理、勾股定理、欧氏几何。