一致连续性

一致连续性（uniform continuity）要求一个输入距离 $δ$ 同时控制整个定义域上的输出误差。普通连续性允许 $δ$ 随所考察的点而变；一致连续性则对每个 $ε > 0$ 先选一个 $δ > 0$ ，随后对定义域中任意两点 $x, y$ ，只要 $| x - y | < δ$ ，就有 $| f (x) - f (y) | < ε$ 。

同一把尺子够不够用

在 $[0, 2]$ 上， $f (x) = x^{2}$ 满足 $| x^{2} - y^{2} | = | x - y | | x + y | \leq 4 | x - y |$ 。给定误差 $ε$ ，取 $δ = ε / 4$ 就对全区间有效。相反， $x^{2}$ 在整个实数轴上不一致连续：取 $x = n$ 、 $y = n + 1 / n$ ，两点距离趋于零，但函数值差为 $2 + 1 / n^{2}$ ，始终大于 2。函数处处连续，远处却越来越陡，一把固定尺子已不够。

另一个失效机制出现在缺掉端点的区间。 $f (x) = 1 / x$ 在 $(0, 1)$ 连续；取 $x = 1 / n$ 、 $y = 1 / (n + 1)$ ，输入差趋于零，输出差恒为 1。问题不是函数在某个域内点突然跳跃，而是靠近未包含的零点时变化率无界。

闭区间上的海涅—康托结论

任一闭区间上的连续函数都一致连续。这个结论的关键是紧性：反设没有统一的 $δ$ ，便可找出同一个 $ε_{0} > 0$ 以及两列点 $x_{n}, y_{n}$ ，使 $| x_{n} - y_{n} | < 1 / n$ ，但 $| f (x_{n}) - f (y_{n}) | \geq ε_{0}$ 。闭区间中 $x_{n}$ 有收敛子列，设极限为 $c$ ；同一子列对应的 $y_{n}$ 因与 $x_{n}$ 距离趋零，也趋于 $c$ 。在 $c$ 连续便迫使两列函数值之差趋于零，矛盾。

证明中的闭且有界不可随意删去。积分中把一段曲线细分时，一致连续性可用同一网格长度控制所有小段上的函数振幅，从而使上下和之差趋零；相关计算见黎曼和与可积性。

参考资料

Encyclopedia of Mathematics：Cantor theorem：紧集上连续映射的一致连续性。
OpenStax《Calculus Volume 1》§2.4：点连续与区间连续的基础定义。