黎曼和与可积性

黎曼和与可积性把“许多小块相加”写成与分割方法无关的极限。给区间 $[a, b]$ 作划分 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ ，每段任选 $ξ_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ ，求和 $S (P, ξ) = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) .$ 如果最大段长 $‖ P ‖ = max_{i} (x_{i} - x_{i - 1})$ 趋零时，所有这样选出的和都趋于同一个数，函数就黎曼可积。只看一种等分取点得到的极限，还不足以代替“所有划分、所有取点”。

平方函数的上下夹逼

在 $[0, 1]$ 上， $x^{2}$ 递增。等分为 $n$ 段后，左端和为 $L_{n} = \frac{1}{n^{3}} \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2 n} + \frac{1}{6 n^{2}},$ 右端和为 $U_{n} = 1 / 3 + 1 / (2 n) + 1 / (6 n^{2})$ ，两者相差 $1 / n$ ，同趋于 $1 / 3$ 。这说明等分时的面积值，却还要检查任意划分。对任意小段，函数振幅 $x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2} \leq 2 (x_{i} - x_{i - 1})$ ，于是上下和之差不超过 $2 \sum_{i} (x_{i} - x_{i - 1})^{2} \leq 2 ‖ P ‖$ ，终于得到所有细划分的一致控制。

平方函数下分别用二四八等分的上下矩形夹住面积，分割变细时差距缩小 — 这些矩形显示等分下的夹逼；正文中的振幅估计把结论推广到任意足够细的分割。

上下和给出真正的判据

在每小段取下确界 $m_{i}$ 、上确界 $M_{i}$ ，所得下和 $\sum m_{i} Δ x_{i}$ 与上和 $\sum M_{i} Δ x_{i}$ 夹住任何代表点和。有界函数黎曼可积，当且仅当对任意 $ε > 0$ 可以找到划分，使 $\sum (M_{i} - m_{i}) Δ x_{i} < ε$ 。闭区间连续函数由一致连续性保证各小段振幅统一变小，因而可积。

在 $[0, 1]$ 上令函数在有理点为 1、无理点为 0。任意小段同时含两种点，上和恒为 1、下和恒为 0，因此不可黎曼积；不过只看有理代表点的和会恒为 1，只看无理代表点的和会恒为 0。这一反例解释了定义为何量化所有取点。积分定义与计算捷径之间的连接见微积分基本定理。

参考资料

OpenStax《Calculus Volume 1》§5.2：黎曼和与定积分。
同书 §5.3：可积量与原函数的连接。