三角形内角和

在欧氏平面中，任意三角形的三个内角和为 $180^{\circ }$。这是平行线性质的结果；只量一张图的角度，最多得到近似数，无法证明所有三角形都成立。

作一条平行线

设三角形为 $ABC$。经过顶点 $A$ 作直线，与对边 $BC$ 平行。由平行线的内错角性质，这条直线在 $A$ 一侧与 $AB$ 形成的角等于 $\mathrm{\angle }B$，另一侧与 $AC$ 形成的角等于 $\mathrm{\angle }C$。这两个角与原来的 $\mathrm{\angle }A$ 在直线同侧恰拼成一个平角，因此 $$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=180^{\circ }.$$

辅助线把 B、C 两角搬到顶点 A，三角形内角和便转化为一条直线上的三个角。

若已知两角为 $42^{\circ }$ 与 $67^{\circ }$，第三角是 $180^{\circ }-42^{\circ }-67^{\circ }=71^{\circ }$。若把 $BC$ 向 $C$ 的外侧延长，外角与 $\mathrm{\angle }C$ 互补，所以外角等于 $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B$；这是同一证明的另一种读法。

命题的空间边界

关键一步是过 $A$ 作一条与 $BC$ 平行的直线，并使用内错角性质。因此结论属于欧氏平面几何。球面上由测地线（大圆弧）构成的三角形可能有三个直角，角和为 $270^{\circ }$；不能把平面结论未经说明搬到球面。对平面多边形，可从这里推导多边形内角和。

参考资料

• 《几何原本》第一卷命题32：三角形外角与内角和。
• OpenStax《Contemporary Mathematics》§10.3：三角形的角与边。