两圆切点的唯一性

两个不同的圆不可能在两个不同的点同时相切。这是《几何原本》第三卷命题 13；它比“两圆最多交于两点”更强，因为两个普通交点是允许的，而两个切点不允许。

用共同点的横坐标排除第二切点

两圆心不同，令它们为 $(0,0)$ 和 $(d,0)$，$d>0$。任一共同点 $(x,y)$ 都须满足 $$x=\frac{R^2-r^2+d^2}{2d}.$$ 若两圆在一个点相切，竖线 $x=\text{常数}$ 与第一个圆只交一次，必须有 $y=0$。横坐标也已被固定，因此这个点唯一，不可能再有第二个切点。若圆心相同而半径不同，一个共同点也没有；圆心、半径都相同则两圆重合，不属于“两个不同圆”。

外切时 $d=R+r$，内切时 $d=|R-r|$，分别可画出一个切点；把 $d$ 调到严格介于两者之间，会出现两个相交点，它们不是切点。这个变化可与两圆相切的连心线对照。

参考资料

• 《几何原本》III.13：两圆不能在两个点相切。
• 推导关联：《几何原本》III.10：两圆至多交于两点。