两圆相切的连心线

两个不同的圆若恰有一个公共点 $T$，称在 $T$ 相切。无论外切还是内切，两个圆心 $O_1,O_2$ 与 $T$ 必在同一直线上；这是《几何原本》第三卷命题 11、12 的共同结论。

唯一交点落在连心线上

把两圆心置于 $O_1=(0,0)$、$O_2=(d,0)$，半径为 $R,r$，其中 $d>0$。与两圆交点的个数的推导相同，共同点横坐标必为 $$x=\frac{R^2-r^2+d^2}{2d}.$$ 若共同点只有一个，它在圆 $x^2+y^2=R^2$ 与这条竖线的唯一交处，故 $y=0$。这就证明 $T$ 位于连接圆心的横轴上，并不只是图上看起来对齐。

若 $T$ 在两圆心之间，则 $O_{1}T=R$、$T{O}_2=r$ 相加得 $d=R+r$，是外切；若两个圆心在 $T$ 同侧，则距离相减得 $d=|R-r|$，是内切。图中左侧为外切、右侧为内切；两种位置都共线，但半径与圆心距的关系不同。

外切有d等于两半径之和；内切有d等于半径之差。

例如半径 5 和 2 的两圆，圆心距 7 时外切，圆心距 3 时内切；圆心距 4 则相交两点，不叫相切。

参考资料

• 《几何原本》III.11：内切时圆心与切点共线。
• 《几何原本》III.12：外切时圆心与切点共线。
• 继续阅读：两圆切点的唯一性、共心圆与相切圆。