中国餐馆过程

中国餐馆过程（Chinese restaurant process，CRP）是依次生成随机分组的一种规则。新对象可以加入已有组，也可以新建一组；加入某个旧组的概率与该组当前大小成正比。餐桌只是分组的比喻，桌号按首次出现次序编排，不代表类别之间天然有大小关系。

一参数分组规则

给定 $\alpha >0$，第一个对象单独成组。已有 $n$ 个对象、$k$ 个组，大小为 $n_1,\dots ,n_k$ 时，第 $n+1$ 个对象加入第 $j$ 组的概率为 $$\frac{n_j}{n+\alpha },$$ 另建新组的概率为 $\alpha /(n+\alpha )$。所有概率相加为一。它是狄利克雷过程在基准无原子时诱导出的重复值分组机制；本文讨论一参数 CRP，不加入 Pitman–Yor 过程中的折扣参数。

例如 $\alpha =2$，四个对象已分成大小三与一的两组。下一对象的三种去向概率为 $3/6=1/2$、$1/6$ 和 $2/6=1/3$。它没有为每个尚未出现的组单独预留三分之一，而是为“新建某一组”这个事件分配总概率。

旧组的吸引力取决于人数，新组只有一个合并的入口。图中虚线圆表示尚未建立的组。

一个完整分组的概率

对 $\{1,\dots ,n\}$ 的一个给定无标号分组，若各组大小为 $n_1,\dots ,n_k$，概率为 $$Pr({\Pi }_n=\pi )=\frac{{\alpha }^k\prod _{j=1}^k(n_j-1)!}{\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}.$$ 证明可直接追踪每次选择：每组首次出现时带来一个因子 $\alpha$；此后在该组加入的人依次带来 $1,2,\dots ,n_j-1$；所有时刻的分母依次为 $\alpha ,\dots ,\alpha +n-1$。乘积与加入的具体时间次序无关，只取决于最终各组大小。因此重新排列对象编号不会改变对应分组的概率，称为交换性。

取 $\alpha =2$，给定分组 $\{\{1,3,4\},\{2\}\}$。按顺序生成的概率为 $1\times (2/3)\times (1/4)\times (2/5)=1/15$。用上式也得到 $2^2(3-1)!(1-1)!/(2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)=1/15$。这是一个指定分组的概率；若只问组大小为三和一，应再计入其他具有该大小的分组，不能把二者混为一谈。

组数的期望

令 $K_n$ 为前 $n$ 个对象形成的组数，$I_i$ 表示第 $i$ 个对象是否新建一组。$K_n=\sum _{i=1}^n{I}_i$，而新建概率仅由 $i$ 和 $\alpha$ 决定。因此由期望线性性， $$𝔼[K_n]=\sum _{i=1}^n\frac{\alpha }{\alpha +i-1}.$$ 这个推导不需要先证明各指示变量相互独立。$\alpha =2,n=4$ 时，期望为 $1+2/3+1/2+2/5=77/30\approx 2.5667$。固定 $\alpha$ 而 $n$ 增大时，该和按对数尺度增长；它不是说每次试验恰有约 $\alpha \log n$ 组。

相同对象数下，较大集中参数给出较多的期望组数；纵轴画的是精确求和的期望，不是一条随机分组轨迹。

变式。 $\alpha =2,n=4$ 时，四人全在同组的概率为 $(1/3)(2/4)(3/5)=1/10$；四人各自成组的概率为 $(2/3)(2/4)(2/5)=2/15$。两者并不穷尽所有分组，差额来自大小二加二、三加一等中间情形。

分组先验与观测证据

CRP 给出的是分组的先验或预测规则。聚类模型若已有测量数据，新对象的后验去向还要乘上各组对该观测的预测密度；不能只看人数就完成统计聚类。交换性也不等于成员之间独立：已出现的大组会影响后续加入概率。