二阶泰勒公式

二阶泰勒公式在一点附近保留函数变化的线性项和弯曲项。设 $f:{ℝ}^n\to ℝ$ 在 $a$ 附近二阶连续可微，$h$ 是小位移，则 $$f(a+h)=f(a)+\mathrm{\nabla }f(a{)}^{T}h+\frac{1}{2}{h}^T{H}_f(a)h+o(\Vert h{\Vert }^2).$$ 其中 $H_f(a)$ 是Hessian矩阵；余项除以 $\Vert h{\Vert }^2$ 趋零，故二阶项确实比遗漏的部分更早出现。公式不是把每个变量分别做一遍一元泰勒再相加；$h^{T}Hh$ 中的交叉项描述变量一起变化的作用。

一个可复算的二维例子

对 $f(x,y)=e^{x+y}$，取 $a=(0,0)$、$h=(0.1,0.2)$。梯度为 $(1,1{)}^T$，Hessian 为全 1 的二阶矩阵，因此线性项是 $0.3$，二次项是 $\frac{1}{2}(0.1+0.2{)}^2=0.045$。二阶预测 $1.345$；真实值 $e^{0.3}\approx 1.349859$，误差约 $0.004859$。若错误地丢掉混合项 $h_1{h}_2=0.02$，会把二次项算成 $(0.1^2+0.2^2)/2=0.025$，明显更差。

从一条线推到多元公式

令 $\varphi (t)=f(a+th)$，$0\le t\le 1$。链式法则给 ${\varphi }^{\prime }(0)=\mathrm{\nabla }f(a{)}^{T}h$，再求一次导数得 ${\varphi }^{″}(t)=h^T{H}_f(a+th)h$。对一元函数 $\varphi$ 在 $t=0$ 作二阶泰勒展开，并用 Hessian 连续性把 $H_f(a+th)$ 换成 $H_f(a)$，差值的绝对值不超过 $\underset{0\le t\le 1}{sup}\Vert H_f(a+th)-H_f(a)\Vert \Vert h{\Vert }^2/2=o(\Vert h{\Vert }^2)$。这一步说明条件中的“连续”如何控制遗漏项。

在驻点 $\mathrm{\nabla }f(a)=0$，二次型 $h^T{H}_f(a)h$ 的正负能判断严格局部极小或鞍点；若它在某些非零方向为零，二阶公式本身可能无法判别，例如一元 $f(x)=x^4$ 在零点的二阶导数为零，却有严格极小值。

参考资料与相关词条

• MIT 18.024：多元泰勒与二阶判别课程笔记。
• 相关：泰勒定理、多元函数的可微性、Hessian矩阵。