多元函数的可微性

多元函数在一点可微，意思是一个线性映射能够在该点附近同时近似所有方向的函数增量。设 $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ 在 $a$ 附近有定义；若存在线性映射 $L$ 使 $$f(a+h)=f(a)+Lh+r(h),\frac{\Vert r(h)\Vert }{\Vert h\Vert }⟶0(h\to 0),$$ 便称 $f$ 在 $a$ 可微，并记 $Df(a)=L$。最后的极限要对全部方向成立，不是只沿坐标轴成立。

偏导数与线性近似

对 $f(x,y)=x^2+xy$，在 $a=(1,2)$ 有 $f(a)=3$，$f_x=2x+y=4$、$f_y=x=1$。把 $h=(u,v)$ 代入并展开： $$f(1+u,2+v)=3+4u+v+u^2+uv.$$ 线性部分 $4u+v$ 给出了切平面斜率；余项满足 $|u^2+uv|\le 2\Vert (u,v){\Vert }^2$，所以余项除以 $\Vert h\Vert$ 趋零，证明了可微。若 $u=0.01,v=-0.02$，线性预测的改变量为 0.02，真正改变量是 $0.02+0.0001-0.0002=0.0199$。

坐标轴有导数还不够

令 $g(0,0)=0$，其余点取 $g(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$。沿 $x$ 轴或 $y$ 轴，函数恒为零，所以原点两偏导数都是零。若它可微，唯一可能的线性近似是零。但沿 $(x,y)=(t,t)$，有 $g(t,t)=|t|/\sqrt{2}$，而 $\Vert (t,t)\Vert =\sqrt{2}|t|$，二者比值恒为 $1/2$，并不趋零。因此两偏导数存在仍不保证可微。

可用的充分条件是：各一阶偏导数在点附近存在并且在该点连续。证明思路是把 $f(a+h)-f(a)$ 按坐标逐次改变，每次由一元中值定理写成相应偏导数乘坐标增量；偏导数连续保证这些系数与 $a$ 处的系数之差趋零，剩余项遂为 $o(\Vert h\Vert )$。可微还推出连续，且链式法则可用矩阵乘法表示复合函数导数。

参考资料与相关词条

• MIT 18.024：全导数与多元微积分课程资料。
• 相关：偏导数、链式法则、二阶泰勒公式、Hessian矩阵。