交错级数

交错级数的相邻项符号交替，例如 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ 。若正数 $a_{n}$ 单调不增且 $a_{n} \to 0$ ，莱布尼茨判别法保证 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n}$ 收敛。仅有“正负交替”并不够； $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ 的项根本没有趋于 0。

两列部分和夹出极限

令 $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} (- 1)^{n - 1} a_{n}$ 。偶数部分和满足 $S_{2 m + 2} - S_{2 m} = a_{2 m + 1} - a_{2 m + 2} \geq 0$ ，因而递增；奇数部分和满足 $S_{2 m + 3} - S_{2 m + 1} = - a_{2 m + 2} + a_{2 m + 3} \leq 0$ ，因而递减。同时 $S_{2 m} \leq S_{2 m + 1}$ ，两列都有界，故各自收敛。它们的差恰为 $a_{2 m + 1} \to 0$ ，所以收敛到同一个数，整个级数因此收敛。

极限 $S$ 总夹在相邻两个部分和之间，得误差界 $| S - S_{N} | \leq a_{N + 1}$ 。对交错调和级数，算到第 100 项后误差至多 $1 / 101$ ，而不是声称第 100 项就是精确值。它虽然收敛，正项绝对值级数 $\sum 1 / n$ 却发散，所以是条件收敛的例子。

参考资料