代数扩张

代数扩张是在一个域中加入满足多项式方程的元素所得到的域扩张。它既能描述从有理数加入平方根，也能描述有限域的扩张；判断时所用的多项式系数必须来自原来的域。

代数元素和扩张

设 $K\subseteq L$ 是域扩张。若 $\alpha \in L$ 是某个非零多项式 $f(x)\in K[x]$ 的根，则称 $\alpha$ 在 $K$ 上代数。若 $L$ 的每个元素都在 $K$ 上代数，就称 $L/K$ 为代数扩张。

比如 $\sqrt{2}$ 是有理数域上的代数元素，因为它满足 $x^2-2=0$。但一个数是否代数要说明基域：在包含它的域上，$\alpha$ 总满足一次方程 $x-\alpha =0$。

加入平方根

令 $K=\mathbb{Q}$，记 $$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}.$$ 这个集合对加减乘封闭；对非零元素，利用共轭计算 $$\frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}.$$ 若分母为零且 $b\ne 0$，将得到 $(a/b{)}^2=2$，与平方根二不是有理数矛盾；若 $b=0$，非零元素又要求 $a\ne 0$。因此分母确实非零，逆元仍属于该集合。它是包含 $\mathbb{Q}$ 和 $\sqrt{2}$ 的最小域。

多项式 $x^2-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，因为若二次多项式可分解，就有有理根。故它是 $\sqrt{2}$ 的最小多项式，扩张次数为 2，基可取 $1,\sqrt{2}$。例如 $(1+\sqrt{2}{)}^{-1}=\sqrt{2}-1$。

有限扩张一定代数

假设 $L$ 作为 $K$ 上向量空间的维数为有限的 $n$。对任意 $\alpha \in L$，$1,\alpha ,\dots ,{\alpha }^n$ 是 $n+1$ 个向量，必线性相关。存在不全为零的系数 $c_i\in K$ 使 $$c_0+c_1\alpha +\cdots +c_n{\alpha }^n=0.$$ 这就是一个以 $\alpha$ 为根的非零多项式，所以每个元素都代数。

反方向要小心：代数扩张不一定是有限扩张，例如全部复代数数构成的域相对于 $\mathbb{Q}$ 是无限次代数扩张。如果扩张由有限多个代数元素生成，则可以逐次使用有限次数公式，得到有限扩张。